-yörüngesi vardır. Bu nedenle T yüzeyi gerçekte -yörüngelerinin bir kümesi, C deki -kosetlerinin kümesi, yani C/ olarak düşünülebilir. Bu nedenle T yüzeyi üzerindeki bir nokta [z] veya sadece [z] ile gösterilir. Söz edilen -kosetleri de -yörüngelerinden başka bir şey değildir, yani
[z] = { u = z + : } dir. Bu nedenle C/ kümesi de bu yörüngelerin ailesi, yani bölüm uzayı olarak düşünülebilir. Böylece
p : C C /, p(z) = [z] bölüm dönüşümü olmak üzere, C/ bölüm uzayı üzerindeki topoloji bu bölüm dönüşümünü, yani kanonik izdüşüm fonksiyonunu sürekli yapan bitiş topoloji, yani bölüm topolojisidir. Doğal olarak bu tanım ile p dönüşümü sürekli olduğu gibi aynı zamanda bir açık dönüşümdür.
, C toplamsal grubunun bir normal alt grubu olduğundan C/ bölüm kümesi de doğal olarak bir grup yapısına sahiptir. Bundan başka, P paralel kenarından T yüzeyi üzerine, P paralel kenarının kenarlarının özdeşlenmesi olarak tanımlanan fonksiyon sürekli bir fonksiyon ve P kompakt olduğundan T yüzeyi de kompakttır.
Her bir [z] T için p1([z]), z sayısının -yörüngesi olan [z] = z + dir, yani z sayısına -denk noktaların kümesidir ve dolayısıyla ayrıktır. O halde p1([z]) nin herhangi iki noktası arasındaki en kısa uzaklık d ile gösterilirse, d > 0 olur ve bundan başka p1([z]) nin bir noktasını merkez kabul eden en fazla d/2 yarıçaplı U açık diski sadece bu noktayı bulundurur. U açık diski her bir -yörüngesinden en çok bir tane nokta bulundurduğundan V = p(U) olarak alınırsa p : U V = p(U) fonksiyonu, yani P nin U açık kümesi üzerine olan kısıtlaması, bire-bir, örten, açık ve sürekli bir fonksiyon olur. Dolayısıyla bu dönüşüm bir homeomorfizmdir. Böylece her bir [z] T noktasının C deki bir açık diske (örneğin, U açık diskine) homeomorfik olan bir V komşuluğu vardır.
Bu nedenle bu şekildeki uzaylara yüzey denir, tor ve küre bilinen en basit yüzey örnekleridir. Dikkat edilirse p1(V) kümesi, olmak üzere ayrık ve sonsuz çokluktaki U + açık kümelerinden oluşmaktadır. Bu kümelerin her birinin p ile V üzerine homeomorfik olarak resmedildiği ise açıktır.
13



22. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


22. SAYFA ICERIGI

-yörüngesi vardır. Bu nedenle T yüzeyi gerçekte -yörüngelerinin bir kümesi, C deki -kosetlerinin kümesi, yani C/ olarak düşünülebilir. Bu nedenle T yüzeyi üzerindeki bir nokta [z] veya sadece [z] ile gösterilir. Söz edilen -kosetleri de -yörüngelerinden başka bir şey değildir, yani
[z] = { u = z + : } dir. Bu nedenle C/ kümesi de bu yörüngelerin ailesi, yani bölüm uzayı olarak düşünülebilir. Böylece
p : C C /, p(z) = [z] bölüm dönüşümü olmak üzere, C/ bölüm uzayı üzerindeki topoloji bu bölüm dönüşümünü, yani kanonik izdüşüm fonksiyonunu sürekli yapan bitiş topoloji, yani bölüm topolojisidir. Doğal olarak bu tanım ile p dönüşümü sürekli olduğu gibi aynı zamanda bir açık dönüşümdür.
, C toplamsal grubunun bir normal alt grubu olduğundan C/ bölüm kümesi de doğal olarak bir grup yapısına sahiptir. Bundan başka, P paralel kenarından T yüzeyi üzerine, P paralel kenarının kenarlarının özdeşlenmesi olarak tanımlanan fonksiyon sürekli bir fonksiyon ve P kompakt olduğundan T yüzeyi de kompakttır.
Her bir [z] T için p1([z]), z sayısının -yörüngesi olan [z] = z + dir, yani z sayısına -denk noktaların kümesidir ve dolayısıyla ayrıktır. O halde p1([z]) nin herhangi iki noktası arasındaki en kısa uzaklık d ile gösterilirse, d > 0 olur ve bundan başka p1([z]) nin bir noktasını merkez kabul eden en fazla d/2 yarıçaplı U açık diski sadece bu noktayı bulundurur. U açık diski her bir -yörüngesinden en çok bir tane nokta bulundurduğundan V = p(U) olarak alınırsa p : U V = p(U) fonksiyonu, yani P nin U açık kümesi üzerine olan kısıtlaması, bire-bir, örten, açık ve sürekli bir fonksiyon olur. Dolayısıyla bu dönüşüm bir homeomorfizmdir. Böylece her bir [z] T noktasının C deki bir açık diske (örneğin, U açık diskine) homeomorfik olan bir V komşuluğu vardır.
Bu nedenle bu şekildeki uzaylara yüzey denir, tor ve küre bilinen en basit yüzey örnekleridir. Dikkat edilirse p1(V) kümesi, olmak üzere ayrık ve sonsuz çokluktaki U + açık kümelerinden oluşmaktadır. Bu kümelerin her birinin p ile V üzerine homeomorfik olarak resmedildiği ise açıktır.
13







single.php