= Z kümesinin 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, . sıralanışı seçilirse a mutlak serisinin

toplamının an an toplamına eşit olduğu kolaylıkla görülebilir. Ancak, a serisi

n 0 n 1

şartlı yakınsak ise ne an serisinin, ne de an serisinin yakınsak olması gerekmez. n0 n 1

Genellikle a j notasyonu yerine bj notasyonunun kullanılması gösterimlerde kolaylık sağlar. Böylece, N kümesi üzerinde alışılmış sıralama olmak üzere, herhangi indeks

kümesi için a serisi ile indeks kümesi N olan bj serisi çakışır. Bu nedenle bu j 0
bölümdeki sonuçlar, terimleri N kümesi ile indekslenmiş seriler için verilirken bu sonuçların tüm sayılabilir sonsuz kümeler ile indekslenmiş mutlak yakınsak seriler için genelleştirilebileceği de açıktır.

1.3.1 Tanım. E C ve her bir n N için un : E C olmak üzere (un), bir fonksiyon dizisi olsun. Eğer verilen herhangi > 0 sayısına karşılık her n > n0 ve her z E için un (z) u(z) < olacak şekilde bir n0 N sayısı var ise (un) dizisi E üzerinde u : E C fonksiyonuna düzgün yakınsar denir. Örneğin, Ek = {z C : z < k} olmak üzere, her 0 < k < 1 için Ek üzerinde (zn) 0 ya- kınsaması düzgündür. Diğer yandan k = 1 alınırsa, her bir belli n sayısı için lim zn 1 ve z 1 böylece her z E1 için zn < = 1/2 eşitsizliğini gerçekleyen bir n sayısı olmadığından E1 üzerinde (zn) 0 yakınsaması düzgün olamaz. Bununla birlikte her bir kompakt K E1 kümesi, k < 1 olmak üzere belli bir Ek kümesi tarafından kapsandığından (zn) 0 yakınsaması E1 kümesinin her kompakt K alt kümesi üzerinde düzgündür. 1.3.2 Tanım. R, C de bir bölge ve her bir n N için un : R C olmak üzere (un) fonksiyon dizisi verilsin. Eğer R bölgesinin her bir K kompakt alt kümesi için, un fonksiyonlarının K üzerine kısıtlamalarının oluşturduğu (un|K) dizisi K üzerinde düzgün yakınsak ise (un) fonksiyon dizisine R nin her kompakt alt kümesi üzerinde düzgün yakınsaktır denir. 16



25. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


25. SAYFA ICERIGI

= Z kümesinin 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, . sıralanışı seçilirse a mutlak serisinin

toplamının an an toplamına eşit olduğu kolaylıkla görülebilir. Ancak, a serisi

n 0 n 1

şartlı yakınsak ise ne an serisinin, ne de an serisinin yakınsak olması gerekmez. n0 n 1

Genellikle a j notasyonu yerine bj notasyonunun kullanılması gösterimlerde kolaylık sağlar. Böylece, N kümesi üzerinde alışılmış sıralama olmak üzere, herhangi indeks

kümesi için a serisi ile indeks kümesi N olan bj serisi çakışır. Bu nedenle bu j 0
bölümdeki sonuçlar, terimleri N kümesi ile indekslenmiş seriler için verilirken bu sonuçların tüm sayılabilir sonsuz kümeler ile indekslenmiş mutlak yakınsak seriler için genelleştirilebileceği de açıktır.

1.3.1 Tanım. E C ve her bir n N için un : E C olmak üzere (un), bir fonksiyon dizisi olsun. Eğer verilen herhangi > 0 sayısına karşılık her n > n0 ve her z E için un (z) u(z) < olacak şekilde bir n0 N sayısı var ise (un) dizisi E üzerinde u : E C fonksiyonuna düzgün yakınsar denir. Örneğin, Ek = {z C : z < k} olmak üzere, her 0 < k < 1 için Ek üzerinde (zn) 0 ya- kınsaması düzgündür. Diğer yandan k = 1 alınırsa, her bir belli n sayısı için lim zn 1 ve z 1 böylece her z E1 için zn < = 1/2 eşitsizliğini gerçekleyen bir n sayısı olmadığından E1 üzerinde (zn) 0 yakınsaması düzgün olamaz. Bununla birlikte her bir kompakt K E1 kümesi, k < 1 olmak üzere belli bir Ek kümesi tarafından kapsandığından (zn) 0 yakınsaması E1 kümesinin her kompakt K alt kümesi üzerinde düzgündür. 1.3.2 Tanım. R, C de bir bölge ve her bir n N için un : R C olmak üzere (un) fonksiyon dizisi verilsin. Eğer R bölgesinin her bir K kompakt alt kümesi için, un fonksiyonlarının K üzerine kısıtlamalarının oluşturduğu (un|K) dizisi K üzerinde düzgün yakınsak ise (un) fonksiyon dizisine R nin her kompakt alt kümesi üzerinde düzgün yakınsaktır denir. 16







single.php