ise sonsuz çarpıma p C sayısına yakınsıyor denir ve bu durum bn = p biçiminde n0
gösterilir.

Eğer bn çarpımı yakınsak ise ii. koşulu kullanılarak, n0

lim
n

bn

lim
n

pn

/

pn 1

lim
n

pn

/ lim n

pn 1

1

olduğu görülür. Böylece bn = 1 + cn değişken değişimi yapıldığında (1 cn ) çarpımın0

nın

yakınsak

olması

için

lim
n

cn

0

olması

gerektiği

sonucu

elde

edilir.

Sonsuz

çarpım-

ların logaritma fonksiyonu yardımıyla sonsuz serilere çevrilebileceği mümkündür.

Hatırlanacağı gibi z C olmak üzere log z fonksiyonu, arg z değişim aralığı olarak 2 uzunluğundaki herhangi bir aralık seçilmek koşulu ile iyi tanımlı tek değerli fonksiyon haline getirilebilir. Her bir z 0 için < arg z ve ln |z|, |z| nin tek değerli gerçel fonksiyonu olmak üzere Log z = ln |z| + i arg z değerine log z fonksiyonunun esas değeri adı verilir. Logaritma fonksiyonuna ait Log zw = Log z + Log w eşitliği, sadece eşitliğin iki tarafı arasındaki farkın 2i olması halinde gerçekleşeceği açıktır. Ancak exp 2i = 1 olduğu dikkate alınırsa her z, w 0 için zw = exp (Log zw) = exp (Log z + Log w) eşitliği elde edilir. Böylece sonsuz çarpımların yakınsaklığı ile sonsuz serilerin yakınsaklıkları arasında, aşağıdaki teorem ile verilen, ilişki elde edilir. 1.4.1 Teorem. Her bir n N için bn 0 olmak üzere bn yakınsak Log(bn ) yakınsak n0 n0 dır, bu durumda bn exp Log(bn ) olur (Jones ve Singerman 1987). n0 n0 İspat. () Log(bn ) = w olsun. Üstel fonksiyon sürekli bir fonksiyon olduğundan n0 21



30. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


30. SAYFA ICERIGI

ise sonsuz çarpıma p C sayısına yakınsıyor denir ve bu durum bn = p biçiminde n0
gösterilir.

Eğer bn çarpımı yakınsak ise ii. koşulu kullanılarak, n0

lim
n

bn

lim
n

pn

/

pn 1

lim
n

pn

/ lim n

pn 1

1

olduğu görülür. Böylece bn = 1 + cn değişken değişimi yapıldığında (1 cn ) çarpımın0

nın

yakınsak

olması

için

lim
n

cn

0

olması

gerektiği

sonucu

elde

edilir.

Sonsuz

çarpım-

ların logaritma fonksiyonu yardımıyla sonsuz serilere çevrilebileceği mümkündür.

Hatırlanacağı gibi z C olmak üzere log z fonksiyonu, arg z değişim aralığı olarak 2 uzunluğundaki herhangi bir aralık seçilmek koşulu ile iyi tanımlı tek değerli fonksiyon haline getirilebilir. Her bir z 0 için < arg z ve ln |z|, |z| nin tek değerli gerçel fonksiyonu olmak üzere Log z = ln |z| + i arg z değerine log z fonksiyonunun esas değeri adı verilir. Logaritma fonksiyonuna ait Log zw = Log z + Log w eşitliği, sadece eşitliğin iki tarafı arasındaki farkın 2i olması halinde gerçekleşeceği açıktır. Ancak exp 2i = 1 olduğu dikkate alınırsa her z, w 0 için zw = exp (Log zw) = exp (Log z + Log w) eşitliği elde edilir. Böylece sonsuz çarpımların yakınsaklığı ile sonsuz serilerin yakınsaklıkları arasında, aşağıdaki teorem ile verilen, ilişki elde edilir. 1.4.1 Teorem. Her bir n N için bn 0 olmak üzere bn yakınsak Log(bn ) yakınsak n0 n0 dır, bu durumda bn exp Log(bn ) olur (Jones ve Singerman 1987). n0 n0 İspat. () Log(bn ) = w olsun. Üstel fonksiyon sürekli bir fonksiyon olduğundan n0 21







single.php