sinin serinin yakınsaklık karakterini ve toplamını etkilememesidir. Negatif olmayan

karmaşık sayıların her sonsuz çarpımı, üstel fonksiyon yardımıyla sonsuz serilere

dönüştürülebildiğinden mutlak yakınsak bir sonsuz çarpımın terimlerinin değiştirilmesi

halinde de çarpımın yakınsaklığı veya değeri etkilenmeyecektir. Dolayısıyla sonsuz

çarpımların mutlak yakınsaklığıyla ilgili aşağıdaki basit kriter verilebilir. Verilecek olan

teoremin ispatında kullanılmak üzere, Log (1+z) fonksiyonunun z = 0 noktasında türevi-

nin 1 olduğu dikkate alınırsa,

lim
z0

Log(1 z

z)

1

ve yeterince küçük |z| için

1 2

|z|

|Log(1

+

z)|

2|z|

eşitsizliği elde edilir.

1.4.2. Teorem. Her bir n N için 1 + cn 0 olmak üzere

(1 cn ) mutlak yakınsak cn mutlak yakınsak n0 n0
dır. Bir başka ifadeyle,

(1 cn ) mutlak yakınsak cn yakınsak n0 n0
dır (Jones ve Singerman 1987).

İspat. () Eğer cn yakınsak ise n için |cn| 0 olur. Böylece yeterince büyük n n0
ler için |Log (1 + z)| 2|cn|

olur ve dolayısıyla karşılaştırma testi gereği Log(1 cn ) sonsuz çarpımı yakınsaktır. n0

O halde (1 cn ) mutlak yakınsaktır. n0

() Eğer Log(1 cn ) yakınsak ise n için Log (1 + cn) 0 ve cn 0 olur, n0
dolayısıyla yeterince büyük her n sayısı için

1 2

|cn|

|Log

(1

+

cn)|

eşitsizliği elde edilir. Karşılaştırma testi uygulandığında cn serisinin de yakınsak n0
olduğu görülür.

23



32. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


32. SAYFA ICERIGI

sinin serinin yakınsaklık karakterini ve toplamını etkilememesidir. Negatif olmayan

karmaşık sayıların her sonsuz çarpımı, üstel fonksiyon yardımıyla sonsuz serilere

dönüştürülebildiğinden mutlak yakınsak bir sonsuz çarpımın terimlerinin değiştirilmesi

halinde de çarpımın yakınsaklığı veya değeri etkilenmeyecektir. Dolayısıyla sonsuz

çarpımların mutlak yakınsaklığıyla ilgili aşağıdaki basit kriter verilebilir. Verilecek olan

teoremin ispatında kullanılmak üzere, Log (1+z) fonksiyonunun z = 0 noktasında türevi-

nin 1 olduğu dikkate alınırsa,

lim
z0

Log(1 z

z)

1

ve yeterince küçük |z| için

1 2

|z|

|Log(1

+

z)|

2|z|

eşitsizliği elde edilir.

1.4.2. Teorem. Her bir n N için 1 + cn 0 olmak üzere

(1 cn ) mutlak yakınsak cn mutlak yakınsak n0 n0
dır. Bir başka ifadeyle,

(1 cn ) mutlak yakınsak cn yakınsak n0 n0
dır (Jones ve Singerman 1987).

İspat. () Eğer cn yakınsak ise n için |cn| 0 olur. Böylece yeterince büyük n n0
ler için |Log (1 + z)| 2|cn|

olur ve dolayısıyla karşılaştırma testi gereği Log(1 cn ) sonsuz çarpımı yakınsaktır. n0

O halde (1 cn ) mutlak yakınsaktır. n0

() Eğer Log(1 cn ) yakınsak ise n için Log (1 + cn) 0 ve cn 0 olur, n0
dolayısıyla yeterince büyük her n sayısı için

1 2

|cn|

|Log

(1

+

cn)|

eşitsizliği elde edilir. Karşılaştırma testi uygulandığında cn serisinin de yakınsak n0
olduğu görülür.

23







single.php