1.4.5 Teorem. fn : E C olmak üzere fn = 1 Fn olsun. Bu durumda

fn , E kümesi üzerinde normsal yakınsak Fn , E üzerinde normsal yakınsak n0 n0
dır (Jones ve Singerman 1987).

İspat. () fn , E kümesi üzerinde normsal yakınsak olsun. Dolayısıyla normsal n0

yakınsaklık tanımı gereği n için Fn 0 olduğu görülür. Buradan yeterince

büyük n N sayıları için Log (1 + Fn) = Log (fn) fonksiyonunun E kümesi üzerinde iyi tanımlı olduğu sonucu ortaya çıkar. Teorem 1.4.2 yardımıyla her z E için

1 2

|Fn|

|Log

fn(z)|

eşitsizliği elde edilir. Böylece her n N sayısı için

1 2

Fn

Log( fn )

elde edilir. Logfn serisi yakınsak olduğundan karşılaştırma testi gereği Fn

serisi de yakınsaktır. Dolayısıyla Fn serisi E üzerinde normsal yakınsaktır.

() Tersine Fn serisi yakınsak olsun. Bu durumda n için Fn 0 olur,

dolayısıyla fn 1 yakınsamasının E üzerinde düzgün olduğu görülür, yani normsal yakınsaklığın birinci koşulu gerçeklenmiş olur. Yukarıda belirtildiği gibi yeterince büyük n sayıları için Log (1 + Fn) = Log (fn) fonksiyonu E kümesi üzerinde iyi tanımlıdır ve Teorem 1.4.2 yardımıyla her z E için
|Log (fn(z)| 2 |Fn(z)| eşitsizliği elde edilir. Dolayısıyla yeterince büyük n sayıları için

Log( fn ) 2 Fn

olur ve karşılaştırma testi gereği Logfn serisi de E üzerinde normsal yakınsaktır.

Böylece normsal yakınsaklığın ikinci koşulu da gerçeklenmiş olur. Böylece

fn sonsuz çarpımının E kümesi üzerinde normsal yakınsak olduğu sonucu elde
n0
edilmiş olur.

1.4.6 Sonuç. Eğer fn sonsuz çarpımı E üzerinde normsal yakınsak ise bu sonsuz n0

25



34. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


34. SAYFA ICERIGI

1.4.5 Teorem. fn : E C olmak üzere fn = 1 Fn olsun. Bu durumda

fn , E kümesi üzerinde normsal yakınsak Fn , E üzerinde normsal yakınsak n0 n0
dır (Jones ve Singerman 1987).

İspat. () fn , E kümesi üzerinde normsal yakınsak olsun. Dolayısıyla normsal n0

yakınsaklık tanımı gereği n için Fn 0 olduğu görülür. Buradan yeterince

büyük n N sayıları için Log (1 + Fn) = Log (fn) fonksiyonunun E kümesi üzerinde iyi tanımlı olduğu sonucu ortaya çıkar. Teorem 1.4.2 yardımıyla her z E için

1 2

|Fn|

|Log

fn(z)|

eşitsizliği elde edilir. Böylece her n N sayısı için

1 2

Fn

Log( fn )

elde edilir. Logfn serisi yakınsak olduğundan karşılaştırma testi gereği Fn

serisi de yakınsaktır. Dolayısıyla Fn serisi E üzerinde normsal yakınsaktır.

() Tersine Fn serisi yakınsak olsun. Bu durumda n için Fn 0 olur,

dolayısıyla fn 1 yakınsamasının E üzerinde düzgün olduğu görülür, yani normsal yakınsaklığın birinci koşulu gerçeklenmiş olur. Yukarıda belirtildiği gibi yeterince büyük n sayıları için Log (1 + Fn) = Log (fn) fonksiyonu E kümesi üzerinde iyi tanımlıdır ve Teorem 1.4.2 yardımıyla her z E için
|Log (fn(z)| 2 |Fn(z)| eşitsizliği elde edilir. Dolayısıyla yeterince büyük n sayıları için

Log( fn ) 2 Fn

olur ve karşılaştırma testi gereği Logfn serisi de E üzerinde normsal yakınsaktır.

Böylece normsal yakınsaklığın ikinci koşulu da gerçeklenmiş olur. Böylece

fn sonsuz çarpımının E kümesi üzerinde normsal yakınsak olduğu sonucu elde
n0
edilmiş olur.

1.4.6 Sonuç. Eğer fn sonsuz çarpımı E üzerinde normsal yakınsak ise bu sonsuz n0

25







single.php