çarpım E üzerinde mutlak yakınsaktır (Jones ve Singerman 1987).

İspat. Eğer fn sonsuz çarpımı E üzerinde normsal yakınsak ise Teorem 1.4.5 yardın0
mıyla fn = 1 + Fn olmak üzere Fn serisinin de E üzerinde normsal yakınsak olduğu
görülür. Böylece Fn (z) serisi her bir z E için mutlak yakınsaktır ve Teorem 1.4.2
den
(1 Fn (z)) fn (z)
sonsuz çarpımının de her bir z E için E üzerinde mutlak yakınsak olduğu elde edilir.

1.4.7 Teorem. (fn), R C bölgesinde analitik olan fonksiyonların bir dizisi ve fn , R n0

nin tüm kompakt alt kümelerinde normsal yakınsak olsun. Bu durumda f = fn n0
fonksiyonu R de analitiktir (Jones ve Singerman 1987).
İspat. Verilen herhangi K R kompakt kümesi üzerinde fn çarpımı normsal
yakınsaktır. Bu durumda her n N sayısı için fn 1 K ve Log( fn ) serisi K üzerinde nN
bir w(z) fonksiyonuna normsal yakınsak olacak şekilde N = NK N sayısı vardır.
o
Böylece her bir Log (fn) fonksiyonu K üzerinde analitiktir ve Log( fn ) serisi K nN
üzerinde düzgün yakınsak olur. Dolayısıyla w fonksiyonu K kümesinde analitiktir ve böylece

f fn exp(w) f0f1. fN 1 n0
fonksiyonu da K kümesinde analitik olur. R kümesindeki her noktanın kompakt bir

kapanışı olduğundan f fn fonksiyonu da R üzerinde analitiktir. n0

Örnek olarak

S ( z)

z.
n 1

(1

z2 n2

)

26



35. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


35. SAYFA ICERIGI

çarpım E üzerinde mutlak yakınsaktır (Jones ve Singerman 1987).

İspat. Eğer fn sonsuz çarpımı E üzerinde normsal yakınsak ise Teorem 1.4.5 yardın0
mıyla fn = 1 + Fn olmak üzere Fn serisinin de E üzerinde normsal yakınsak olduğu
görülür. Böylece Fn (z) serisi her bir z E için mutlak yakınsaktır ve Teorem 1.4.2
den
(1 Fn (z)) fn (z)
sonsuz çarpımının de her bir z E için E üzerinde mutlak yakınsak olduğu elde edilir.

1.4.7 Teorem. (fn), R C bölgesinde analitik olan fonksiyonların bir dizisi ve fn , R n0

nin tüm kompakt alt kümelerinde normsal yakınsak olsun. Bu durumda f = fn n0
fonksiyonu R de analitiktir (Jones ve Singerman 1987).
İspat. Verilen herhangi K R kompakt kümesi üzerinde fn çarpımı normsal
yakınsaktır. Bu durumda her n N sayısı için fn 1 K ve Log( fn ) serisi K üzerinde nN
bir w(z) fonksiyonuna normsal yakınsak olacak şekilde N = NK N sayısı vardır.
o
Böylece her bir Log (fn) fonksiyonu K üzerinde analitiktir ve Log( fn ) serisi K nN
üzerinde düzgün yakınsak olur. Dolayısıyla w fonksiyonu K kümesinde analitiktir ve böylece

f fn exp(w) f0f1. fN 1 n0
fonksiyonu da K kümesinde analitik olur. R kümesindeki her noktanın kompakt bir

kapanışı olduğundan f fn fonksiyonu da R üzerinde analitiktir. n0

Örnek olarak

S ( z)

z.
n 1

(1

z2 n2

)

26







single.php