fonksiyonunu ele alalım.

z2 n1 n2

serisi C nin tüm kompakt alt kümeleri üzerinde normsal

yakınsak olduğundan Teorem 1.4.5 gereği

n1

1

z2 n2

çarpımı C nin tüm kompakt alt

kümeleri üzerinde normsal yakınsaktır. Böylece Teorem 1.4.7 gereği S(z) fonksiyonunun C de analitik olduğu sonucu elde edilir.

1.4.8 Teorem. (fn), bir R bölgesinde analitik olan fonksiyonların bir dizisi, z R ve

f = fn olsun. fn çarpımının da R üzerinde normsal yakınsak olduğunu varsayan0 n0
lım. Böylece f (z) = 0 belli n N sayıları için fn(z) = 0
dır. Bu koşulu gerçekleyen sadece sonlu sayıda n vardır ve üstelik f fonksiyonunun sıfırı olan z nin mertebesi, fn fonksiyonlarının sıfırları olan z lerin mertebelerinin toplamına eşittir (Jones ve Singerman 1987).
İspat. Eğer belli bir fn fonksiyonu fn(z) = 0 oluyorsa z R noktasında f fn
çarpımının da sıfır olacağı açıktır. Tersine keyfi karmaşık sayıların sonsuz çarpımlarının tanımı dikkate alınacak olursa eğer f(z) = 0 ise belli bir n için fn(z) = 0 olacağı açıktır. Yakınsaklığın tanımı gereği en fazla sonlu sayıda fn(z) çarpanı sıfır olabilir ve her n N sayısı için fn(z) 0 olmak üzere
f = (f0f1. fN 1) fn nN
yazıldığında fn (z) 0 elde edilir ve böylece teoremin çift gerektirmeli kısmını ispatı nN
tamamlanmış olur.

Örneğin, S(z) fonksiyonunun her bir n Z noktasında basit sıfırları vardır. Dolayısıyla S(z) fonksiyonunun C\Z üzerinde sıfırdan farklı olduğu açıktır.

Her bir n N sayı için fn analitik fonksiyon ve m yeterince büyük bir doğal sayı olmak üzere f = f0 . fm çarpımı dikkate alındığında, f fonksiyonunun türevini, fn ve fn

27



36. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


36. SAYFA ICERIGI

fonksiyonunu ele alalım.

z2 n1 n2

serisi C nin tüm kompakt alt kümeleri üzerinde normsal

yakınsak olduğundan Teorem 1.4.5 gereği

n1

1

z2 n2

çarpımı C nin tüm kompakt alt

kümeleri üzerinde normsal yakınsaktır. Böylece Teorem 1.4.7 gereği S(z) fonksiyonunun C de analitik olduğu sonucu elde edilir.

1.4.8 Teorem. (fn), bir R bölgesinde analitik olan fonksiyonların bir dizisi, z R ve

f = fn olsun. fn çarpımının da R üzerinde normsal yakınsak olduğunu varsayan0 n0
lım. Böylece f (z) = 0 belli n N sayıları için fn(z) = 0
dır. Bu koşulu gerçekleyen sadece sonlu sayıda n vardır ve üstelik f fonksiyonunun sıfırı olan z nin mertebesi, fn fonksiyonlarının sıfırları olan z lerin mertebelerinin toplamına eşittir (Jones ve Singerman 1987).
İspat. Eğer belli bir fn fonksiyonu fn(z) = 0 oluyorsa z R noktasında f fn
çarpımının da sıfır olacağı açıktır. Tersine keyfi karmaşık sayıların sonsuz çarpımlarının tanımı dikkate alınacak olursa eğer f(z) = 0 ise belli bir n için fn(z) = 0 olacağı açıktır. Yakınsaklığın tanımı gereği en fazla sonlu sayıda fn(z) çarpanı sıfır olabilir ve her n N sayısı için fn(z) 0 olmak üzere
f = (f0f1. fN 1) fn nN
yazıldığında fn (z) 0 elde edilir ve böylece teoremin çift gerektirmeli kısmını ispatı nN
tamamlanmış olur.

Örneğin, S(z) fonksiyonunun her bir n Z noktasında basit sıfırları vardır. Dolayısıyla S(z) fonksiyonunun C\Z üzerinde sıfırdan farklı olduğu açıktır.

Her bir n N sayı için fn analitik fonksiyon ve m yeterince büyük bir doğal sayı olmak üzere f = f0 . fm çarpımı dikkate alındığında, f fonksiyonunun türevini, fn ve fn

27







single.php