o
eşitliği elde edilir. w = Log( fn ) , K üzerindeki analitik fonksiyonların normsal nN
yakınsak ve dolayısıyla da düzgün yakınsak bir dizisi olduğundan terim terime türevi

alınabilir ve böylece

elde edilir. Böylece

w

nN

fn fn

f N 1

f

n0

fn fn

nN

fn fn

n0

fn fn

o
elde edilir. Bu seriler Sonuç 1.3.4 de bahsedildiği gibi K kümesinin her kompakt alt kü-

mesinde düzgün yakınsaktır. Bu ifade her K

R için geçerli olduğundan

n0

fn fn

f f

yakınsaması R nin her kompakt alt kümesi üzerinde düzgündür.

Örneğin,

S(z)

z.

n1

(1

z2 n2

)

z.

n1

(1

z n

)(1

z n

)

çarpımı C nin tüm kompakt alt kümeleri üzerinde normsal yakınsak olduğundan bir

önceki teorem yardımıyla S(z) nin logaritmik türevi olan

Z(z) =

S ( z ) S(z)

=

1 z

n 1

2z z2 n2

=

1 z

n 1

(

z

1

n

z

1

n)

serisi elde edilir. Bu Z(z) serisi C nin tüm kompakt alt kümeleri üzerinde düzgün

yakınsaktır. Teorem 1.3.8 yardımıyla Z(z) nin terim terim türevi alınarak bir meromorf fonksiyon elde edilebilir. Eğer P(z) = Z(z) denirse

P(z) =

1 z2

( n1 (z

1 n)2

(z

1 n)2

)

=

1 n (z n)2

olarak bulunur. P(z) fonksiyonunun, periyodik ve periyotlarının kümesi Z olan, bir basit

periyodik meromorf fonksiyon olduğu tanımından görülmektedir. Üstelik

P(z) = 2 cosec2z , Z(z) = cotz ve S(z) = sin z

olduğu da açıktır. Bir sonraki bölümde elde edilecek olan (z) eliptik fonksiyonu ile

(z) ve (z) fonksiyonları da P(z), Z(z) ve S(z) fonksiyonlarına benzer şekilde oluşturulacaklardır.

29



38. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


38. SAYFA ICERIGI

o
eşitliği elde edilir. w = Log( fn ) , K üzerindeki analitik fonksiyonların normsal nN
yakınsak ve dolayısıyla da düzgün yakınsak bir dizisi olduğundan terim terime türevi

alınabilir ve böylece

elde edilir. Böylece

w

nN

fn fn

f N 1

f

n0

fn fn

nN

fn fn

n0

fn fn

o
elde edilir. Bu seriler Sonuç 1.3.4 de bahsedildiği gibi K kümesinin her kompakt alt kü-

mesinde düzgün yakınsaktır. Bu ifade her K

R için geçerli olduğundan

n0

fn fn

f f

yakınsaması R nin her kompakt alt kümesi üzerinde düzgündür.

Örneğin,

S(z)

z.

n1

(1

z2 n2

)

z.

n1

(1

z n

)(1

z n

)

çarpımı C nin tüm kompakt alt kümeleri üzerinde normsal yakınsak olduğundan bir

önceki teorem yardımıyla S(z) nin logaritmik türevi olan

Z(z) =

S ( z ) S(z)

=

1 z

n 1

2z z2 n2

=

1 z

n 1

(

z

1

n

z

1

n)

serisi elde edilir. Bu Z(z) serisi C nin tüm kompakt alt kümeleri üzerinde düzgün

yakınsaktır. Teorem 1.3.8 yardımıyla Z(z) nin terim terim türevi alınarak bir meromorf fonksiyon elde edilebilir. Eğer P(z) = Z(z) denirse

P(z) =

1 z2

( n1 (z

1 n)2

(z

1 n)2

)

=

1 n (z n)2

olarak bulunur. P(z) fonksiyonunun, periyodik ve periyotlarının kümesi Z olan, bir basit

periyodik meromorf fonksiyon olduğu tanımından görülmektedir. Üstelik

P(z) = 2 cosec2z , Z(z) = cotz ve S(z) = sin z

olduğu da açıktır. Bir sonraki bölümde elde edilecek olan (z) eliptik fonksiyonu ile

(z) ve (z) fonksiyonları da P(z), Z(z) ve S(z) fonksiyonlarına benzer şekilde oluşturulacaklardır.

29







single.php