si kompakt olduğundan, Liouville teoremi gereği, f fonksiyonu analitik ise f fonksiyonu sabittir sonucu elde edilir. T toru kompakt olduğundan benzer sonuçlar eliptik fonksiyonlar için de verilebilir. İlerleyen kısımlarda rasyonel fonksiyonların küreyle olan ilişkisine benzer bir ilişkinin eliptik fonksiyonlar ile tor arasında olduğu da görülecektir.
Sabit olmayan bir eliptik fonksiyonun oluşturulması oldukça zor bir iştir. Bu şekilde bir eliptik fonksiyonu oluşturmadan önce bir eliptik fonksiyonun sahip olması gereken temel özellikler üzerinde durmak daha uygun olacaktır. f eliptik fonksiyonu, c olmak üzere c sayısına özdeşliğin eşit olmayan ve kafesine göre eliptik bir fonksiyon olarak seçilebilir. Dolayısıyla f(z) = c denkleminin çözümleri ayrıktır ve üstelik bu denklemin her bir çözümü sonlu katlılığa sahiptir, üstelik birbirine denk olan çözümlerin katlılıkları da aynıdır. f(z) = c denkleminin çözümleri ayrık olduğundan kafesi için herhangi bir P temel paralel kenarı seçilirse, P kompakt olduğundan bu paralel kenar f(z) = c denkleminin sadece sonlu çoklukta çözümünü bulundurur. Üstelik, eğer gerek duyulursa P P + t kayması yapılarak P temel paralel kenarı, sınırı üzerinde hiç çözüm bulunduramayacak hale de getirilebilir. P temel paralel kenarındaki çözümler, katlılıkları k1, ., kr olmak üzere z = z1, ., zr noktalarında ve N = k1 + .+ kr olsun. Böylece f(z) = c denkleminin P temel paralel kenarında tam N tane çözümü olur. z = z1, ., zr noktaları z C olmak üzere f(z) = c denkleminin çözümlerinin denklik sınıflarının temsilcileri olduğundan N sayısı, [z] T = C/ olmak üzere f([z]) = c denkleminin çözümlerinin katlılıklarının toplamı olarak da düşünülebilir.
2.1.1 Tanım. Bir eliptik f fonksiyonunun mertebesi, f(z) = denkleminin çözümlerinin sayısı olarak tanımlanır ve bu değer ord(f) ile gösterilir.
Tanıma dikkat edilecek olursa, ord(f), f fonksiyonunun kutuplarının denklik sınıflarının mertebelerinin toplamına eşittir. Bu tanım, rasyonel bir g fonksiyonunun derecesinin katlılıkları sayılmak üzere g(z) = denkleminin çözümlerinin sayısına eşit olmasıyla benzerlik gösterir. Bundan sonraki kısımlarda f fonksiyonu denildiğinde mertebesi N ve kafesine göre eliptik bir fonksiyon ve P temel paralel kenarı denildiğinde de t, P üzerinde f fonksiyonunun sıfırları ya da kutupları olmayacak şekilde bir karmaşık sayı olmak üzere, köşeleri t, t + 1, t + 2, t + 1 + 2 olan (1, 2) kafesi için bir temel paralelkenar olarak anlaşılacaktır.
32



41. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


41. SAYFA ICERIGI

si kompakt olduğundan, Liouville teoremi gereği, f fonksiyonu analitik ise f fonksiyonu sabittir sonucu elde edilir. T toru kompakt olduğundan benzer sonuçlar eliptik fonksiyonlar için de verilebilir. İlerleyen kısımlarda rasyonel fonksiyonların küreyle olan ilişkisine benzer bir ilişkinin eliptik fonksiyonlar ile tor arasında olduğu da görülecektir.
Sabit olmayan bir eliptik fonksiyonun oluşturulması oldukça zor bir iştir. Bu şekilde bir eliptik fonksiyonu oluşturmadan önce bir eliptik fonksiyonun sahip olması gereken temel özellikler üzerinde durmak daha uygun olacaktır. f eliptik fonksiyonu, c olmak üzere c sayısına özdeşliğin eşit olmayan ve kafesine göre eliptik bir fonksiyon olarak seçilebilir. Dolayısıyla f(z) = c denkleminin çözümleri ayrıktır ve üstelik bu denklemin her bir çözümü sonlu katlılığa sahiptir, üstelik birbirine denk olan çözümlerin katlılıkları da aynıdır. f(z) = c denkleminin çözümleri ayrık olduğundan kafesi için herhangi bir P temel paralel kenarı seçilirse, P kompakt olduğundan bu paralel kenar f(z) = c denkleminin sadece sonlu çoklukta çözümünü bulundurur. Üstelik, eğer gerek duyulursa P P + t kayması yapılarak P temel paralel kenarı, sınırı üzerinde hiç çözüm bulunduramayacak hale de getirilebilir. P temel paralel kenarındaki çözümler, katlılıkları k1, ., kr olmak üzere z = z1, ., zr noktalarında ve N = k1 + .+ kr olsun. Böylece f(z) = c denkleminin P temel paralel kenarında tam N tane çözümü olur. z = z1, ., zr noktaları z C olmak üzere f(z) = c denkleminin çözümlerinin denklik sınıflarının temsilcileri olduğundan N sayısı, [z] T = C/ olmak üzere f([z]) = c denkleminin çözümlerinin katlılıklarının toplamı olarak da düşünülebilir.
2.1.1 Tanım. Bir eliptik f fonksiyonunun mertebesi, f(z) = denkleminin çözümlerinin sayısı olarak tanımlanır ve bu değer ord(f) ile gösterilir.
Tanıma dikkat edilecek olursa, ord(f), f fonksiyonunun kutuplarının denklik sınıflarının mertebelerinin toplamına eşittir. Bu tanım, rasyonel bir g fonksiyonunun derecesinin katlılıkları sayılmak üzere g(z) = denkleminin çözümlerinin sayısına eşit olmasıyla benzerlik gösterir. Bundan sonraki kısımlarda f fonksiyonu denildiğinde mertebesi N ve kafesine göre eliptik bir fonksiyon ve P temel paralel kenarı denildiğinde de t, P üzerinde f fonksiyonunun sıfırları ya da kutupları olmayacak şekilde bir karmaşık sayı olmak üzere, köşeleri t, t + 1, t + 2, t + 1 + 2 olan (1, 2) kafesi için bir temel paralelkenar olarak anlaşılacaktır.
32







single.php