2.1.2 Teorem. f fonksiyonu sabit N = 0 dir, yani bir başka ifadeyle analitik bir f eliptik fonksiyonu sabit fonksiyon olmak zorundadır (Jones ve Singerman 1987). İspat. Eğer f fonksiyonu sabit ve meromorf bir fonksiyon ise f fonksiyonunun C de kutbu yoktur, yani N = 0 dır. Tersine N = 0 olduğu varsayılırsa f fonksiyonunun hiç kutbu yoktur. Dolayısıyla f fonksiyonu C de analitiktir. P temel bölgesi kompakt ve f fonksiyonu sürekli olduğundan f(P) de C nin kompakt bir alt kümesidir ve dolayısıyla sınırlıdır. f(C) = f(P) olduğundan f fonksiyonu C kümesinde sınırlıdır. Liouville teoremi gereği, f fonksiyonu analitik ve sınırlı olduğundan sabit fonksiyon olmak zorundadır (bu teoremin ispatında f fonksiyonunun sınırlı olduğunu göstermek için T = C/ torunun kompakt olduğu dikkate alınarak f(C) = f(T) eşitliği de kullanılabilirdi).

2.1.3 Teorem. f fonksiyonunun P temel paralel kenarı boyunca kalıntıları toplamı sıfırdır (Jones ve Singerman 1987). İspat. f fonksiyonu P üzerinde analitik ve meromorf bir fonksiyon olduğundan
1 f (z)dz değeri f fonksiyonunun P temel paralelkenarı boyunca kalıntıları toplamı-
2i P na eşittir. 1, 2, 3 ve 4, aşağıdaki şekilde de görüldüğü gibi, P temel paralel kenarının sırasıyla t köşesinden t +1 köşesine, t + 1 köşesinden t + 1 + 2 köşesine, t + 1 + 2 köşesinden t + 2 köşesine ve t + 2 köşesinden t köşesine olan kenarlarını göstersinler. P üzerinde, j = 1, 2, 3, 4 olmak üzere j kenarları boyunca saat yönünün tersi yönünde hareket edilirse
4
f (z) f (z)dz
P j 1 j
olur. 2 karmaşık sayısı f fonksiyonunun bir periyodu olduğundan
f (z)dz f (z 2)dz
3 3
yazılabilir. 3 1 2 eşitliği sadece yön farkıyla doğru olduğundan

f (z)dz f (z 2 )dz f (z 2 )d (z 2 )

3 3

1 2

olur. z yerine z 2 değeri yerine yazılırsa

33



42. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


42. SAYFA ICERIGI

2.1.2 Teorem. f fonksiyonu sabit N = 0 dir, yani bir başka ifadeyle analitik bir f eliptik fonksiyonu sabit fonksiyon olmak zorundadır (Jones ve Singerman 1987). İspat. Eğer f fonksiyonu sabit ve meromorf bir fonksiyon ise f fonksiyonunun C de kutbu yoktur, yani N = 0 dır. Tersine N = 0 olduğu varsayılırsa f fonksiyonunun hiç kutbu yoktur. Dolayısıyla f fonksiyonu C de analitiktir. P temel bölgesi kompakt ve f fonksiyonu sürekli olduğundan f(P) de C nin kompakt bir alt kümesidir ve dolayısıyla sınırlıdır. f(C) = f(P) olduğundan f fonksiyonu C kümesinde sınırlıdır. Liouville teoremi gereği, f fonksiyonu analitik ve sınırlı olduğundan sabit fonksiyon olmak zorundadır (bu teoremin ispatında f fonksiyonunun sınırlı olduğunu göstermek için T = C/ torunun kompakt olduğu dikkate alınarak f(C) = f(T) eşitliği de kullanılabilirdi).

2.1.3 Teorem. f fonksiyonunun P temel paralel kenarı boyunca kalıntıları toplamı sıfırdır (Jones ve Singerman 1987). İspat. f fonksiyonu P üzerinde analitik ve meromorf bir fonksiyon olduğundan
1 f (z)dz değeri f fonksiyonunun P temel paralelkenarı boyunca kalıntıları toplamı-
2i P na eşittir. 1, 2, 3 ve 4, aşağıdaki şekilde de görüldüğü gibi, P temel paralel kenarının sırasıyla t köşesinden t +1 köşesine, t + 1 köşesinden t + 1 + 2 köşesine, t + 1 + 2 köşesinden t + 2 köşesine ve t + 2 köşesinden t köşesine olan kenarlarını göstersinler. P üzerinde, j = 1, 2, 3, 4 olmak üzere j kenarları boyunca saat yönünün tersi yönünde hareket edilirse
4
f (z) f (z)dz
P j 1 j
olur. 2 karmaşık sayısı f fonksiyonunun bir periyodu olduğundan
f (z)dz f (z 2)dz
3 3
yazılabilir. 3 1 2 eşitliği sadece yön farkıyla doğru olduğundan

f (z)dz f (z 2 )dz f (z 2 )d (z 2 )

3 3

1 2

olur. z yerine z 2 değeri yerine yazılırsa

33







single.php