2.1.5 Teorem. Eğer f fonksiyonu N > 0 mertebeli bir eliptik fonksiyon ise f fonksiyonu

her bir c değerini tam N defa alır (Jones ve Singerman 1987). İspat. Eğer c = olarak alınırsa bu halde N sayısının daha önce verilmiş olan tanımı

elde edilir. Dolayısıyla c C olarak düşünülebilir. f fonksiyonu, kendisiyle aynı metre-

beden olan f c fonksiyonuyla değiştirilirse c = 0 olarak alınabilir. f / f fonksiyonu

meromorf ve P üzerinde f fonksiyonunun sıfırları veya kutupları olmadığından f / f

fonksiyonu P üzerinde analitik bir fonksiyondur. Diğer yandan f fonksiyonu eliptik

olduğundan f fonksiyonu da eliptiktir ve böylece f / f fonksiyonu da eliptik bir fonk-

siyon olur. Teorem 2.1.3 kullanılarak

P

f f

((zz))dz

0

olduğu sonucu elde edilir. f / f fonksiyonunun kutup noktaları, f fonksiyonunun kutup

ve sıfır noktalarından başka bir şey değildir. Eğer f fonksiyonunun sıfırı, k katlılığa sahip

olan z = a P noktası olarak alınırsa, g analitik bir fonksiyon ve g(a) 0 olmak üzere f fonksiyonu z = a noktasının civarında

f (z) (z a)k g(z)

şeklinde ifade edilebilir. Bu eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında, z = a noktasının

civarında

f (z) k(z a)k 1 g(z) (z a)k g(z)

olarak bulunur. Dolayısıyla f / f fonksiyonunun z = a noktasında kalıntısı k olmak

üzere z = a noktasının civarında

f (z) f (z)

z

k

a

g ( z ) g(z)

olarak ifade edilebilir. Benzer bir düşünce ile, f (z) (z a)k g(z) olarak alınarak,

f / f fonksiyonunun, f fonksiyonunun k katlı her bir kutup noktasında k kalıntısına

sahip olduğu da gösterilebilir. f / f fonksiyonunun kalıntıları toplamı sıfır olduğundan

f fonksiyonunun sıfır yerlerinin sayısı, katlılıkları sayılmak şartıyla, kutup yerlerinin

sayısına eşit olduğu görülür. Dolayısıyla f(z) = 0 denkleminin N tane çözümü vardır.

35



44. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


44. SAYFA ICERIGI

2.1.5 Teorem. Eğer f fonksiyonu N > 0 mertebeli bir eliptik fonksiyon ise f fonksiyonu

her bir c değerini tam N defa alır (Jones ve Singerman 1987). İspat. Eğer c = olarak alınırsa bu halde N sayısının daha önce verilmiş olan tanımı

elde edilir. Dolayısıyla c C olarak düşünülebilir. f fonksiyonu, kendisiyle aynı metre-

beden olan f c fonksiyonuyla değiştirilirse c = 0 olarak alınabilir. f / f fonksiyonu

meromorf ve P üzerinde f fonksiyonunun sıfırları veya kutupları olmadığından f / f

fonksiyonu P üzerinde analitik bir fonksiyondur. Diğer yandan f fonksiyonu eliptik

olduğundan f fonksiyonu da eliptiktir ve böylece f / f fonksiyonu da eliptik bir fonk-

siyon olur. Teorem 2.1.3 kullanılarak

P

f f

((zz))dz

0

olduğu sonucu elde edilir. f / f fonksiyonunun kutup noktaları, f fonksiyonunun kutup

ve sıfır noktalarından başka bir şey değildir. Eğer f fonksiyonunun sıfırı, k katlılığa sahip

olan z = a P noktası olarak alınırsa, g analitik bir fonksiyon ve g(a) 0 olmak üzere f fonksiyonu z = a noktasının civarında

f (z) (z a)k g(z)

şeklinde ifade edilebilir. Bu eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında, z = a noktasının

civarında

f (z) k(z a)k 1 g(z) (z a)k g(z)

olarak bulunur. Dolayısıyla f / f fonksiyonunun z = a noktasında kalıntısı k olmak

üzere z = a noktasının civarında

f (z) f (z)

z

k

a

g ( z ) g(z)

olarak ifade edilebilir. Benzer bir düşünce ile, f (z) (z a)k g(z) olarak alınarak,

f / f fonksiyonunun, f fonksiyonunun k katlı her bir kutup noktasında k kalıntısına

sahip olduğu da gösterilebilir. f / f fonksiyonunun kalıntıları toplamı sıfır olduğundan

f fonksiyonunun sıfır yerlerinin sayısı, katlılıkları sayılmak şartıyla, kutup yerlerinin

sayısına eşit olduğu görülür. Dolayısıyla f(z) = 0 denkleminin N tane çözümü vardır.

35







single.php