2.1.6 Teorem. f ve g fonksiyonları, C kümesinde kutupları aynı noktalarda ve bu noktalardaki esas kısımları da aynı olan kafesine göre eliptik iki fonksiyon olsun. Bu durumda belli bir c C için f ve g fonksiyonlar arasında f(z) = g(z) + c bağıntısı vardır (Jones ve Singerman 1987). İspat. f g fonksiyonu eliptik bir fonksiyondur ve bu fonksiyonun hiç kutup noktası olmadığından mertebesi sıfırdır. Analitik bir eliptik fonksiyonun mutlaka sabit fonksiyon olması gerektiği daha önce gösterilmişti. Dolayısıyla f g fonksiyonu sabit fonksiyondur.
2.1.7 Teorem. f ve g fonksiyonları C kümesinde kutupları ve sıfırları aynı noktalarda olan, kafesine göre eliptik iki fonksiyon olsun. Bu durumda belli bir c 0 sabiti için f(z) = cg(z) dir (Jones ve Singerman 1987). İspat. Teorem 2.1.6 in ispatında f g fonksiyonu yerine f / g fonksiyonunun alınması ispatı tamamlar.
Özdeşliğin sıfıra eşit olmayan bir f : rasyonel fonksiyonunun sonlu sayıda sıfırları ve sonlu sayıda kutup noktaları vardır. Bu f fonksiyonunun sıfırları olarak, katlılıkları k1, ., kr olan a1, ., ar noktaları ve kutupları da, katlılıkları l1, ., ls olan b1, ., bs noktaları olarak alınabilir. Tersine katlılıkları, sırasıyla, k1, ., kr ve l1, ., ls 1 olarak verilen a1, ., ar noktalarında sıfırları ve b1, ., bs noktalarında da kutupları olan bir f rasyonel fonksiyonu vardır. Bu f rasyonel fonksiyonu aşağıdaki koşulları gerçekler:
i. k1 + . + kr = l1 + . + ls (her iki toplam f fonksiyonunun dercesine eşittir), ii. {a1, ., ar} ve {b1, ., bs} kümeleri ayrıktırlar (yani bir kutup noktası ile sıfır noktası çakışmaz). Bu durumda f fonksiyonu, aj = ve bj = çarpanları hariç aj, bj C için
rs
f(z) = (z a j )k j / (z bj )t j j 1 j 1
olarak alınabilir. Eğer f : C eliptik fonksiyonunun sıfır yerleri [a1], [a2], ., [ar] denklik sınıflarında k1, ., kr katlılıklı ve kutup yerleri [b1], [b2], ., [bs] denklik sınıflarında l1, ., ls katlılıklı ise Teorem 2.1.5 gereği i. koşulu gereklidir ve ii. koşuluna karşılık
ii. [a1] [a2] . [ar] ve [b1] [b2] . [bs] kümeleri farklıdırlar
36



45. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


45. SAYFA ICERIGI

2.1.6 Teorem. f ve g fonksiyonları, C kümesinde kutupları aynı noktalarda ve bu noktalardaki esas kısımları da aynı olan kafesine göre eliptik iki fonksiyon olsun. Bu durumda belli bir c C için f ve g fonksiyonlar arasında f(z) = g(z) + c bağıntısı vardır (Jones ve Singerman 1987). İspat. f g fonksiyonu eliptik bir fonksiyondur ve bu fonksiyonun hiç kutup noktası olmadığından mertebesi sıfırdır. Analitik bir eliptik fonksiyonun mutlaka sabit fonksiyon olması gerektiği daha önce gösterilmişti. Dolayısıyla f g fonksiyonu sabit fonksiyondur.
2.1.7 Teorem. f ve g fonksiyonları C kümesinde kutupları ve sıfırları aynı noktalarda olan, kafesine göre eliptik iki fonksiyon olsun. Bu durumda belli bir c 0 sabiti için f(z) = cg(z) dir (Jones ve Singerman 1987). İspat. Teorem 2.1.6 in ispatında f g fonksiyonu yerine f / g fonksiyonunun alınması ispatı tamamlar.
Özdeşliğin sıfıra eşit olmayan bir f : rasyonel fonksiyonunun sonlu sayıda sıfırları ve sonlu sayıda kutup noktaları vardır. Bu f fonksiyonunun sıfırları olarak, katlılıkları k1, ., kr olan a1, ., ar noktaları ve kutupları da, katlılıkları l1, ., ls olan b1, ., bs noktaları olarak alınabilir. Tersine katlılıkları, sırasıyla, k1, ., kr ve l1, ., ls 1 olarak verilen a1, ., ar noktalarında sıfırları ve b1, ., bs noktalarında da kutupları olan bir f rasyonel fonksiyonu vardır. Bu f rasyonel fonksiyonu aşağıdaki koşulları gerçekler:
i. k1 + . + kr = l1 + . + ls (her iki toplam f fonksiyonunun dercesine eşittir), ii. {a1, ., ar} ve {b1, ., bs} kümeleri ayrıktırlar (yani bir kutup noktası ile sıfır noktası çakışmaz). Bu durumda f fonksiyonu, aj = ve bj = çarpanları hariç aj, bj C için
rs
f(z) = (z a j )k j / (z bj )t j j 1 j 1
olarak alınabilir. Eğer f : C eliptik fonksiyonunun sıfır yerleri [a1], [a2], ., [ar] denklik sınıflarında k1, ., kr katlılıklı ve kutup yerleri [b1], [b2], ., [bs] denklik sınıflarında l1, ., ls katlılıklı ise Teorem 2.1.5 gereği i. koşulu gereklidir ve ii. koşuluna karşılık
ii. [a1] [a2] . [ar] ve [b1] [b2] . [bs] kümeleri farklıdırlar
36







single.php