maddesi elde edilir.

Sıradaki sonuç rasyonel fonksiyonların tersine bu koşulların f fonksiyonunun varlığı için yeterli olmadığını göstermektedir.

2.1.8 Teorem. Bir eliptik f fonksiyonunun sıfır yerleri [a1], [a2], ., [ar] denklik sınıflarında k1, ., kr katlılıklı ve kutup yerleri de [b1], [b2], ., [bs] denklik sınıflarında l1, ., ls katlılıklı olsun. Bu durumda
rs
k ja j ~ l jbj mod
j 1 j 1
dır (Jones ve Singerman 1987).

İspat. P, kafesi için, P üzerinde f fonksiyonunun sıfırlarını veya kutuplarını

bulundurmayan bir temel paralel kenar olsun. İlk olarak

eşitliği ispatlanacaktır.

k ja j

l jbj

1 2i

P

zf f

((zz))dz

z f / f fonksiyonunun kutup noktaları f fonksiyonunun sıfır ve kutup yerlerin-

dedir ve f fonksiyonunun z = a noktasına k katlı bir sıfırı varsa, g analitik bir fonksiyon ve g(a) 0 olmak üzere f fonksiyonu z = a noktasının civarında

f (z) (z a)k g(z)

şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla z g / g fonksiyonu a noktasında analitik bir fonksiyon

olmak üzere

zf (z) f (z)

(z

z a)k

g(z)

(k(z

a)k 1 g(z)

(z

a)k

g ( z ))

z

kz a

zg ( z ) g(z)

yazılabilir. Bu eşitlik yardımıyla z f / f fonksiyonunun z = a noktasında kalıntısının ka

olduğu görülür. Benzer şekilde, eğer f fonksiyonunun z = b noktasında l katlı bir kutbu

varsa z f / f fonksiyonunun z = b noktasında kalıntısının da lb olduğu kolayca

görülebilir. Artık f fonksiyonunun P temel paralelkenarında sıfır ve kutup yerleri sırasıyla a1, ., ar noktalarında k1, ., kr katlılıklı ve b1, ., bs noktalarında l1, ., ls katlılıklı olur ve üstelik

1 zf (z)dz
2i P f (z)

37



46. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


46. SAYFA ICERIGI

maddesi elde edilir.

Sıradaki sonuç rasyonel fonksiyonların tersine bu koşulların f fonksiyonunun varlığı için yeterli olmadığını göstermektedir.

2.1.8 Teorem. Bir eliptik f fonksiyonunun sıfır yerleri [a1], [a2], ., [ar] denklik sınıflarında k1, ., kr katlılıklı ve kutup yerleri de [b1], [b2], ., [bs] denklik sınıflarında l1, ., ls katlılıklı olsun. Bu durumda
rs
k ja j ~ l jbj mod
j 1 j 1
dır (Jones ve Singerman 1987).

İspat. P, kafesi için, P üzerinde f fonksiyonunun sıfırlarını veya kutuplarını

bulundurmayan bir temel paralel kenar olsun. İlk olarak

eşitliği ispatlanacaktır.

k ja j

l jbj

1 2i

P

zf f

((zz))dz

z f / f fonksiyonunun kutup noktaları f fonksiyonunun sıfır ve kutup yerlerin-

dedir ve f fonksiyonunun z = a noktasına k katlı bir sıfırı varsa, g analitik bir fonksiyon ve g(a) 0 olmak üzere f fonksiyonu z = a noktasının civarında

f (z) (z a)k g(z)

şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla z g / g fonksiyonu a noktasında analitik bir fonksiyon

olmak üzere

zf (z) f (z)

(z

z a)k

g(z)

(k(z

a)k 1 g(z)

(z

a)k

g ( z ))

z

kz a

zg ( z ) g(z)

yazılabilir. Bu eşitlik yardımıyla z f / f fonksiyonunun z = a noktasında kalıntısının ka

olduğu görülür. Benzer şekilde, eğer f fonksiyonunun z = b noktasında l katlı bir kutbu

varsa z f / f fonksiyonunun z = b noktasında kalıntısının da lb olduğu kolayca

görülebilir. Artık f fonksiyonunun P temel paralelkenarında sıfır ve kutup yerleri sırasıyla a1, ., ar noktalarında k1, ., kr katlılıklı ve b1, ., bs noktalarında l1, ., ls katlılıklı olur ve üstelik

1 zf (z)dz
2i P f (z)

37







single.php