2.2 Jacobi Eliptik Fonksiyonları

Daha önceki bölümlerde bir eliptik fonksiyonunun mertebesinin 2 den az olamayacağı belirtilmişti. Dolayısıyla en basit eliptik fonksiyonunun mertebesi 2 dir. Bu durum iki başlık altında incelenebilir: Bu fonksiyonlar, sıfırı bulundurmayan her bir temel paralel kenarda bir tane çift katlı kutbu olan ve bu kutup noktasındaki kalıntılarının toplamı sıfır olan eliptik fonksiyonlar ile her biri basit olan iki kutup noktasına sahip ve bu kutup noktalarındaki kalıntılarının toplamı mutlak değerce birbirine eşit ancak zıt işaretli olan eliptik fonksiyonlar. Bu bölümde ikinci tipteki Jacobi eliptik fonksiyonları ele alınacaktır.

1 < x < 1 olmak üzere x u(x) dt 0 1t2 (2.1) 1 1 2 0 dt 1 t2 (2.2) integrallerini dikkate alalım. Eğer birinci intgeral sıfırdan ye düşünülür ve u nun pozitif karekökü alınırsa (2.1) eşitliğinin, değişkeni x ve tek fonksiyon olan bir u fonksiyonu tanımladığı görülür. Tersine, bu integral yardımıyla x in, u değişkenli bir tek fonksiyonu olduğu görülür. Eğer bu fonksiyon x(u) = sin u ile gösterilirse, (2.1) nolu integral u(x) = arcsin x biçimini alır. (2.2) nolu integral yardımıyla da cos u fonksiyonu cosu 1 sin 2 u biçiminde tanımlanabilir. Bu durumda u için 1 2 ve 1 2 arasında pozitif karekök alındığından gerçekte, u fonksiyonunun x değişkenine bağlı bir çift fonksiyon olduğu görülür. Dolayısıyla sin2 u cos2 u 1 eşitliği elde edilir. Burada sin 0 = 0 ve cos 0 = 1 olduğuna dikkat edilmelidir. (2.1) nolu integralin x e göre türevi alındığında du 1 dx 1 x2 39



48. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


48. SAYFA ICERIGI

2.2 Jacobi Eliptik Fonksiyonları

Daha önceki bölümlerde bir eliptik fonksiyonunun mertebesinin 2 den az olamayacağı belirtilmişti. Dolayısıyla en basit eliptik fonksiyonunun mertebesi 2 dir. Bu durum iki başlık altında incelenebilir: Bu fonksiyonlar, sıfırı bulundurmayan her bir temel paralel kenarda bir tane çift katlı kutbu olan ve bu kutup noktasındaki kalıntılarının toplamı sıfır olan eliptik fonksiyonlar ile her biri basit olan iki kutup noktasına sahip ve bu kutup noktalarındaki kalıntılarının toplamı mutlak değerce birbirine eşit ancak zıt işaretli olan eliptik fonksiyonlar. Bu bölümde ikinci tipteki Jacobi eliptik fonksiyonları ele alınacaktır.

1 < x < 1 olmak üzere x u(x) dt 0 1t2 (2.1) 1 1 2 0 dt 1 t2 (2.2) integrallerini dikkate alalım. Eğer birinci intgeral sıfırdan ye düşünülür ve u nun pozitif karekökü alınırsa (2.1) eşitliğinin, değişkeni x ve tek fonksiyon olan bir u fonksiyonu tanımladığı görülür. Tersine, bu integral yardımıyla x in, u değişkenli bir tek fonksiyonu olduğu görülür. Eğer bu fonksiyon x(u) = sin u ile gösterilirse, (2.1) nolu integral u(x) = arcsin x biçimini alır. (2.2) nolu integral yardımıyla da cos u fonksiyonu cosu 1 sin 2 u biçiminde tanımlanabilir. Bu durumda u için 1 2 ve 1 2 arasında pozitif karekök alındığından gerçekte, u fonksiyonunun x değişkenine bağlı bir çift fonksiyon olduğu görülür. Dolayısıyla sin2 u cos2 u 1 eşitliği elde edilir. Burada sin 0 = 0 ve cos 0 = 1 olduğuna dikkat edilmelidir. (2.1) nolu integralin x e göre türevi alındığında du 1 dx 1 x2 39







single.php