özdeşlikleri yardımıyla tanımlanabilir. Bu tanımla birlikte cn 0 = 1 ve dn 0 = 1 sonuçları elde edilir. Her bir Jacobi eliptik fonksiyonu bir k parametresine bağlıdır. Bu k parametresine Jacobi eliptik fonksiyonunun modülü adı verilir.
k2 + k2 = 1 eşitliği ile tanımlanan k parametresine de tümler (bütünleyici) modül adı verilir.

Özel olarak seçilmiş bir modül vurgulanmak istenildiğinde, Jacobi eliptik fonksiyonları sn (u, k), cn (u, k) ve dn (u, k)
biçiminde ifade edilirler. m = k2 parametreli alternatif notasyon kullanıldığında ise Jacobi eliptik fonksiyonları için
sn (u|m), cn (u|m) ve dn (u|m) gösterimleri kullanılır. Özel olarak k = 0 olması halinde dn u = 1 olurken, sn u ve cn u Jacobi eliptik fonksiyonları sırasıyla sin u ve cos u trigonometrik fonksiyonlarına dönüşür. k = 1 olması halinde ise cn u ve dn u Jacobi eliptik fonksiyonları sech u hiperbolik fonksiyonuna eşit olurken sn u fonksiyonu da tanh u hiperbolik fonksiyonuna eşit olur.

2.2.2 Teorem. sn u fonksiyonu tek, cn u ve dn u fonksiyonları ise çift Jacobi eliptik

fonksiyonlardır (Whittaker ve Watson 1927).

İspat. Eğer

x
u

dt

0 (1 t 2 )(1 k 2t 2 )

integralinde, t = t değişken değişikliği yapıldığında x in işareti değişirse benzer şekilde

u nun da işareti değişir. Dolayısıyla sn (u) = sn u olur. Buradan sn u Jacobi eliptik

fonksiyonunun tek olduğu elde edilir.

sn2u cn2u 1

özdeşliğinden cn (u) = cn u sonucu bulunur. cn u eliptik fonksiyonu tek değerli

analitik sürekli bir fonksiyon olduğundan üst işaret veya alt işaret alınmalıdır. Diğer

yandan u = 0 olduğunda pozitif işaret alınacağından cn (u) = cn u olması gerekir.

Benzer şekilde dn (u) = dn u olduğu da görülebilir. Böylece dn u ve cn u Jacobi eliptik

fonksiyonlarının çift fonksiyonlar oldukları sonucu elde edilmiş olur.

41



50. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


50. SAYFA ICERIGI

özdeşlikleri yardımıyla tanımlanabilir. Bu tanımla birlikte cn 0 = 1 ve dn 0 = 1 sonuçları elde edilir. Her bir Jacobi eliptik fonksiyonu bir k parametresine bağlıdır. Bu k parametresine Jacobi eliptik fonksiyonunun modülü adı verilir.
k2 + k2 = 1 eşitliği ile tanımlanan k parametresine de tümler (bütünleyici) modül adı verilir.

Özel olarak seçilmiş bir modül vurgulanmak istenildiğinde, Jacobi eliptik fonksiyonları sn (u, k), cn (u, k) ve dn (u, k)
biçiminde ifade edilirler. m = k2 parametreli alternatif notasyon kullanıldığında ise Jacobi eliptik fonksiyonları için
sn (u|m), cn (u|m) ve dn (u|m) gösterimleri kullanılır. Özel olarak k = 0 olması halinde dn u = 1 olurken, sn u ve cn u Jacobi eliptik fonksiyonları sırasıyla sin u ve cos u trigonometrik fonksiyonlarına dönüşür. k = 1 olması halinde ise cn u ve dn u Jacobi eliptik fonksiyonları sech u hiperbolik fonksiyonuna eşit olurken sn u fonksiyonu da tanh u hiperbolik fonksiyonuna eşit olur.

2.2.2 Teorem. sn u fonksiyonu tek, cn u ve dn u fonksiyonları ise çift Jacobi eliptik

fonksiyonlardır (Whittaker ve Watson 1927).

İspat. Eğer

x
u

dt

0 (1 t 2 )(1 k 2t 2 )

integralinde, t = t değişken değişikliği yapıldığında x in işareti değişirse benzer şekilde

u nun da işareti değişir. Dolayısıyla sn (u) = sn u olur. Buradan sn u Jacobi eliptik

fonksiyonunun tek olduğu elde edilir.

sn2u cn2u 1

özdeşliğinden cn (u) = cn u sonucu bulunur. cn u eliptik fonksiyonu tek değerli

analitik sürekli bir fonksiyon olduğundan üst işaret veya alt işaret alınmalıdır. Diğer

yandan u = 0 olduğunda pozitif işaret alınacağından cn (u) = cn u olması gerekir.

Benzer şekilde dn (u) = dn u olduğu da görülebilir. Böylece dn u ve cn u Jacobi eliptik

fonksiyonlarının çift fonksiyonlar oldukları sonucu elde edilmiş olur.

41







single.php