2.4 Jacobi Eliptik Fonksiyonlarının Periyodikliği

Eliptik fonksiyonların tanımı hatırlanacak olursa, Jacobi eliptik fonksiyonlarının da çifte periyodik fonksiyonlar olması gerektiği kolayca görülebilir. Bu periyotlar daha önce tanımı verilen K ve K sabitleri cinsinden de ifade edilebilirler.

2.4.1 Teorem. sn u ve cn u fonksiyonlarının her ikisinin periyodu 4K, dn u

fonksiyonunun periyodu 2K dır (Whittaker ve Watson 1927).

İspat. Teorem 2.3.2 yardımıyla

sn(u

K)

sn ucn Kdn K sn ucn Kdn K 1 k 2sn2 usn2 K

cn udn u 1 k 2sn2 u

cn udn u dn2 u

cn u dn u

cn u

elde edilir. Benzer şekilde

cn(u + K) =

cn ucn K sn usn Kdn udn K 1 k 2sn2 usn2 K

sn udn udn K 1 k 2sn2 usn2 K

sn udn dn u

K

k

sn dn

u u

= k sd u

ve

dn(u + K) =

dn udn K k 2sn usn Kcn ucn K 1 k 2sn2 usn2 K

dn udn K dn2 u

dn K dn u

k dn u

=

k nd u

bulunur. Dolayısıyla

sn(u

2K)

cn(u dn(u

K) K)

ksd u knd u

sn u

ve

cn(u + 2K) = cn u,

dn(u + 2K) = dn u

elde edilir. Sonuç olarak

sn(u + 4K) = sn u,

cn(u + 4K) = cn u

dır ve dolayısıyla ispat tamamlanır.

2.4.2 Teorem. sn u ve dn u fonksiyonlarının her biri 4K + i K periyoduna sahip olduğu

halde cn u fonksiyonu 2K +2i K periyoduna sahiptir (Whittaker ve Watson 1927).

İspat. Daha önce verilen

sn (K + i K ) = 1/k, cn (K + i K ) = i k /k, dn (K + i K ) = 0

eşitlikleri ve Teorem 2.3.2 yardımıyla

sn(K

iK )

sn ucn(K

iK)dn(K iK) sn(K 1 k 2sn2 usn2 (K iK)

iK)cn udn u

(1/ k)dcu

45



54. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


54. SAYFA ICERIGI

2.4 Jacobi Eliptik Fonksiyonlarının Periyodikliği

Eliptik fonksiyonların tanımı hatırlanacak olursa, Jacobi eliptik fonksiyonlarının da çifte periyodik fonksiyonlar olması gerektiği kolayca görülebilir. Bu periyotlar daha önce tanımı verilen K ve K sabitleri cinsinden de ifade edilebilirler.

2.4.1 Teorem. sn u ve cn u fonksiyonlarının her ikisinin periyodu 4K, dn u

fonksiyonunun periyodu 2K dır (Whittaker ve Watson 1927).

İspat. Teorem 2.3.2 yardımıyla

sn(u

K)

sn ucn Kdn K sn ucn Kdn K 1 k 2sn2 usn2 K

cn udn u 1 k 2sn2 u

cn udn u dn2 u

cn u dn u

cn u

elde edilir. Benzer şekilde

cn(u + K) =

cn ucn K sn usn Kdn udn K 1 k 2sn2 usn2 K

sn udn udn K 1 k 2sn2 usn2 K

sn udn dn u

K

k

sn dn

u u

= k sd u

ve

dn(u + K) =

dn udn K k 2sn usn Kcn ucn K 1 k 2sn2 usn2 K

dn udn K dn2 u

dn K dn u

k dn u

=

k nd u

bulunur. Dolayısıyla

sn(u

2K)

cn(u dn(u

K) K)

ksd u knd u

sn u

ve

cn(u + 2K) = cn u,

dn(u + 2K) = dn u

elde edilir. Sonuç olarak

sn(u + 4K) = sn u,

cn(u + 4K) = cn u

dır ve dolayısıyla ispat tamamlanır.

2.4.2 Teorem. sn u ve dn u fonksiyonlarının her biri 4K + i K periyoduna sahip olduğu

halde cn u fonksiyonu 2K +2i K periyoduna sahiptir (Whittaker ve Watson 1927).

İspat. Daha önce verilen

sn (K + i K ) = 1/k, cn (K + i K ) = i k /k, dn (K + i K ) = 0

eşitlikleri ve Teorem 2.3.2 yardımıyla

sn(K

iK )

sn ucn(K

iK)dn(K iK) sn(K 1 k 2sn2 usn2 (K iK)

iK)cn udn u

(1/ k)dcu

45







single.php