2.5.1 Teorem. (z) teta fonksiyonunun bir temel paralel kenar içinde tam olarak bir tane

sıfırı vardır (Whittaker ve Watson 1927).

İspat. (z) fonksiyonu karmaşık düzlemin sonlu bir kısmında analitiktir, dolayısıyla

kalıntı teoremi gereği eğer C köşeleri t, t + , t + + , t + olan bir temel paralel

kenar ise (z) fonksiyonunun bu C temel paralel kenarındaki sıfırlarının sayısı

1 2i

C

((zz))dz

integral değerine eşittir. Diğer yandan bu integral

1

t
2idz

2i t

integraline indirgenebilir ve dolayısıyla

1 2i

C

((zz))dz

1

dir. Sonuç olarak (z) fonksiyonunun C temel paralel kenarında tam olarak bir tane sıfır

vardır.

1(z) fonksiyonunun bu sıfırı z = 0 noktası olduğundan 2(z), 3(z) ve 4(z) fonksiyonla-

rının sıfırları sırasıyla

1 2

,

1 2

+

1 2

ve

1 2

noktalarına

denk

olan

noktalardır.

Verilen bu bilgiler altında artık Jacobi eliptik fonksiyonlarını teta fonksiyonları cinsinden yazmak mümkündür. u = z32 ve k = 22/ 32 olmak üzere

sn(u, k)

31(u / 32 ) 24 (u / 32 )

,

cn(u, k)

42 (u 24 (u

/ 32 ) / 32 )

,

dn(u, k)

43 (u 34 (u

/ /

32 32

) )

dir. Yukarıdaki eşitlikler 1/32 çarpanını bulundurduğundan

(u) 4 (u / 32 )

fonksiyonu ele alınabilir. (u) fonksiyonunun periyotları 2K ve 2i K dür. Dolayısıyla

(u + K) fonksiyonu 3(z) ile yer değiştirir ve 1(z) fonksiyonu yerine

48



57. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


57. SAYFA ICERIGI

2.5.1 Teorem. (z) teta fonksiyonunun bir temel paralel kenar içinde tam olarak bir tane

sıfırı vardır (Whittaker ve Watson 1927).

İspat. (z) fonksiyonu karmaşık düzlemin sonlu bir kısmında analitiktir, dolayısıyla

kalıntı teoremi gereği eğer C köşeleri t, t + , t + + , t + olan bir temel paralel

kenar ise (z) fonksiyonunun bu C temel paralel kenarındaki sıfırlarının sayısı

1 2i

C

((zz))dz

integral değerine eşittir. Diğer yandan bu integral

1

t
2idz

2i t

integraline indirgenebilir ve dolayısıyla

1 2i

C

((zz))dz

1

dir. Sonuç olarak (z) fonksiyonunun C temel paralel kenarında tam olarak bir tane sıfır

vardır.

1(z) fonksiyonunun bu sıfırı z = 0 noktası olduğundan 2(z), 3(z) ve 4(z) fonksiyonla-

rının sıfırları sırasıyla

1 2

,

1 2

+

1 2

ve

1 2

noktalarına

denk

olan

noktalardır.

Verilen bu bilgiler altında artık Jacobi eliptik fonksiyonlarını teta fonksiyonları cinsinden yazmak mümkündür. u = z32 ve k = 22/ 32 olmak üzere

sn(u, k)

31(u / 32 ) 24 (u / 32 )

,

cn(u, k)

42 (u 24 (u

/ 32 ) / 32 )

,

dn(u, k)

43 (u 34 (u

/ /

32 32

) )

dir. Yukarıdaki eşitlikler 1/32 çarpanını bulundurduğundan

(u) 4 (u / 32 )

fonksiyonu ele alınabilir. (u) fonksiyonunun periyotları 2K ve 2i K dür. Dolayısıyla

(u + K) fonksiyonu 3(z) ile yer değiştirir ve 1(z) fonksiyonu yerine

48







single.php