H(u)

=

i

q

1 4

eiu/2K

(u

+

i

K

)

=

1(u/

32|)

ile tanımlı eta fonksiyonu kullanılabilir. Böylece 2(z) fonksiyonu yerine de H(u + K) fonksiyonu elde alınabilir.

2.6 Weierstrass Fonksiyonları

= (1, 2), {1, 2} tabanlı bir kafes ve P ise, P nin sınırı olan P üzerinde nın elemanlarını bulundurmayan bir temel bölge olsun. Bu kısımda kafesine göre eliptik fakat sabit olmayan fonksiyonlar oluşturulacaktır. Teorem 2.1.2 ye dayanarak böyle bir f fonksiyonunun analitik olamayacağı ve dolayısıyla da bu fonksiyonun P temel bölgesinde mutlaka kutuplarının olması gerektiği bilinmektedir, bundan başka f fonksiyonunun P temel bölgesinde basit kutbu olamayacağı da belirtilmiştir. Dolayısıyla, en basit sabit olmayan bir eliptik fonksiyonun derecesi 2 olmalıdır. O halde bu f fonksiyonunun P temel bölgesinde ya iki tane basit kutbu ya da ikinci dereceden tek kutbunun olması gerekir. Bu bölümde kafesine göre eliptik olan ve P temel bölgesinde ikinci dereceden tek kutbu olan 2 dereceli (z) Weierstrass fonksiyonu ele alınacak ve kafesine göre eliptik olan her bir fonksiyonunun ve bunun türevi olan fonksiyonlarının
rasyonel bir fonksiyonu şeklinde olduğu sonucu elde edilecektir. N 3 mertebeli eliptik fonksiyonların oluşturulması, Teorem 2.6.2 de de görüleceği gibi zor değildir, fakat bu teoremde verilecek olan metot, N = 2 olması durumunda uygulanamaz. (z) fonksiyonunun (z) fonksiyonu ile olan ilişkisi, S(z) = sinz fonksiyonunun P(z) = 2 cosec2z fonksiyonuyla olan ilişkisine benzer olduğundan (z) fonksiyonu farklı bir yöntem kullanılarak, (z) Weierstrass sigma fonksiyonundan elde edilecektir.

Tıpkı P(z), Z(z) ve S(z) fonksiyonlarını tanımlayan serilerin ve çarpımların yakınsaklık-

larının n2 serisinin yakınsaklığına dayandığı gibi, Weierstrass fonksiyonları ile n 1
tanımlı çarpımlar ve serilerin yakınsaklığı da kafesi ile indekslenmiş benzer toplamların yakınsaklığına bağlıdır. kafesi tam sıralı bir küme olmadığından, kafesi üzerinden toplamayı netleştirmek için öncelikle kafesinin özel bir sıralanışının tanımlanması gerekir.

49



58. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


58. SAYFA ICERIGI

H(u)

=

i

q

1 4

eiu/2K

(u

+

i

K

)

=

1(u/

32|)

ile tanımlı eta fonksiyonu kullanılabilir. Böylece 2(z) fonksiyonu yerine de H(u + K) fonksiyonu elde alınabilir.

2.6 Weierstrass Fonksiyonları

= (1, 2), {1, 2} tabanlı bir kafes ve P ise, P nin sınırı olan P üzerinde nın elemanlarını bulundurmayan bir temel bölge olsun. Bu kısımda kafesine göre eliptik fakat sabit olmayan fonksiyonlar oluşturulacaktır. Teorem 2.1.2 ye dayanarak böyle bir f fonksiyonunun analitik olamayacağı ve dolayısıyla da bu fonksiyonun P temel bölgesinde mutlaka kutuplarının olması gerektiği bilinmektedir, bundan başka f fonksiyonunun P temel bölgesinde basit kutbu olamayacağı da belirtilmiştir. Dolayısıyla, en basit sabit olmayan bir eliptik fonksiyonun derecesi 2 olmalıdır. O halde bu f fonksiyonunun P temel bölgesinde ya iki tane basit kutbu ya da ikinci dereceden tek kutbunun olması gerekir. Bu bölümde kafesine göre eliptik olan ve P temel bölgesinde ikinci dereceden tek kutbu olan 2 dereceli (z) Weierstrass fonksiyonu ele alınacak ve kafesine göre eliptik olan her bir fonksiyonunun ve bunun türevi olan fonksiyonlarının
rasyonel bir fonksiyonu şeklinde olduğu sonucu elde edilecektir. N 3 mertebeli eliptik fonksiyonların oluşturulması, Teorem 2.6.2 de de görüleceği gibi zor değildir, fakat bu teoremde verilecek olan metot, N = 2 olması durumunda uygulanamaz. (z) fonksiyonunun (z) fonksiyonu ile olan ilişkisi, S(z) = sinz fonksiyonunun P(z) = 2 cosec2z fonksiyonuyla olan ilişkisine benzer olduğundan (z) fonksiyonu farklı bir yöntem kullanılarak, (z) Weierstrass sigma fonksiyonundan elde edilecektir.

Tıpkı P(z), Z(z) ve S(z) fonksiyonlarını tanımlayan serilerin ve çarpımların yakınsaklık-

larının n2 serisinin yakınsaklığına dayandığı gibi, Weierstrass fonksiyonları ile n 1
tanımlı çarpımlar ve serilerin yakınsaklığı da kafesi ile indekslenmiş benzer toplamların yakınsaklığına bağlıdır. kafesi tam sıralı bir küme olmadığından, kafesi üzerinden toplamayı netleştirmek için öncelikle kafesinin özel bir sıralanışının tanımlanması gerekir.

49







single.php