r,s =

2

olarak tanımlı r,s fonksiyonu 8r(rD)s = 8r1 s Ds ile 8r(rd)s = 8r1 s ds değerleri

arasında değerler alır. Böylece

ve dolayısıyla

r,s serisi yakınsak r1s yakınsak r1 r 1

r,s serisi yakınsak s 2 r1

olduğu görülür.

s

serisinin terimleri

r,s

serisini verecek şekilde yeniden

r1

gruplandırılabilir ve üstelik bu serinin terimleri pozitif olduğundan

s serisi yakınsak s 2

sonucu elde edilir. Bu hazırlıklardan sonra mertebesi N 3 olan eliptik fonksiyonların oluşturulması biraz daha kolaylaşmış olur.

2.6.2 Teorem. Her N 3 tamsayısı için FN (z) (z )N fonksiyonu kafesine
göre N. mertebeden bir eliptik fonksiyondur (Jones ve Singerman 1987). İspat. Eğer K, C\ nın herhangi bir kompakt alt kümesi ise (z )N terimleri K

üzerinde analitik ve dolayısıyla sınırlıdırlar. K sınırlı bir kümesi olduğundan sonlu tanesi

hariç her bir (örneğin her ) ve her z K için || 2|z| dir. Her

ve her z K için |z | || |z|

1 2

|| eşitsizliği yardımıyla her için

(z )N 2N||N K
eşitsizliği elde edilir. Eğer N 3 ise Teorem 2.6.1 ve karşılaştırma testi yardımıyla

(z )N serisinin yakınsak olduğu görülür. Dolayısıyla (z )N serisi K

K

üzerinde normsal yakınsaktır. Her bir (z )N terimi K üzerinde analitik olduğundan

Sonuç 1.3.4 yardımıyla FN(z) fonksiyonunun C\ üzerinde analitik olduğu sonucu elde

edilir. Teorem 1.3.8 yardımıyla da FN(z) fonksiyonunun her bir noktasında meromorf olduğu görülür. FN(z) fonksiyonunun (z )N terimlerinin her birinin N.

52



61. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


61. SAYFA ICERIGI

r,s =

2

olarak tanımlı r,s fonksiyonu 8r(rD)s = 8r1 s Ds ile 8r(rd)s = 8r1 s ds değerleri

arasında değerler alır. Böylece

ve dolayısıyla

r,s serisi yakınsak r1s yakınsak r1 r 1

r,s serisi yakınsak s 2 r1

olduğu görülür.

s

serisinin terimleri

r,s

serisini verecek şekilde yeniden

r1

gruplandırılabilir ve üstelik bu serinin terimleri pozitif olduğundan

s serisi yakınsak s 2

sonucu elde edilir. Bu hazırlıklardan sonra mertebesi N 3 olan eliptik fonksiyonların oluşturulması biraz daha kolaylaşmış olur.

2.6.2 Teorem. Her N 3 tamsayısı için FN (z) (z )N fonksiyonu kafesine
göre N. mertebeden bir eliptik fonksiyondur (Jones ve Singerman 1987). İspat. Eğer K, C\ nın herhangi bir kompakt alt kümesi ise (z )N terimleri K

üzerinde analitik ve dolayısıyla sınırlıdırlar. K sınırlı bir kümesi olduğundan sonlu tanesi

hariç her bir (örneğin her ) ve her z K için || 2|z| dir. Her

ve her z K için |z | || |z|

1 2

|| eşitsizliği yardımıyla her için

(z )N 2N||N K
eşitsizliği elde edilir. Eğer N 3 ise Teorem 2.6.1 ve karşılaştırma testi yardımıyla

(z )N serisinin yakınsak olduğu görülür. Dolayısıyla (z )N serisi K

K

üzerinde normsal yakınsaktır. Her bir (z )N terimi K üzerinde analitik olduğundan

Sonuç 1.3.4 yardımıyla FN(z) fonksiyonunun C\ üzerinde analitik olduğu sonucu elde

edilir. Teorem 1.3.8 yardımıyla da FN(z) fonksiyonunun her bir noktasında meromorf olduğu görülür. FN(z) fonksiyonunun (z )N terimlerinin her birinin N.

52







single.php