elde edilir. Dolayısıyla her bir için (z ) (z) özdeşliğin sıfır olur ve böylece (z + ) (z) farkı bir sabite eşittir. Her z C için (z + ) (z) = c olarak alınırsa, (z) çift fonksiyon olduğundan z = /2 için c = (/2) ( /2) = 0 olur. Böylece her z C ve için (z + ) = (z), yani dir. Diğer yandan 0, (z) fonksiyonunun bir kutup noktası olduğundan deki her noktada (z) fonksiyonunun bir kutbu vardır. (z) fonksiyonunun C\ da kutbu olmadığından dir. Yani = dir.

2.6.4 Teorem. (z) fonksiyonu 2. mertebeden, (z) fonksiyonu ise 3. mertebeden birer eliptik fonksiyondur (Jones ve Singerman 1987). İspat. (z) fonksiyonunun kafes noktalarındaki kutuplarının mertebesi 2 olan tek bir denklik sınıfı var olduğundan (z) fonksiyonu 2. mertebeden bir eliptik fonksiyondur. Benzer şekilde
(z) = 2F3(z) fonksiyonunun kutuplarının da 3. mertebeden bir tek denklik sınıfı olduğundan (z) fonksiyonu da 3. mertebeden bir eliptik fonksiyondur.

(z), (z) ve (z) Weierstrass fonksiyonlarının her birisi özel bir kafesine bağlı olduklarından (z, ), . vb. şeklinde yazılmalıdırlar. Ancak, çoğu durumda kafesi bilindiğinden kısa gösterimleri tercih edilir.

2.7 (z) Fonksiyonu İçin Diferensiyel Denklemler

Bu bölümde (z) fonksiyonunun z = 0 noktasının komşuluğundaki Laurent serisinden

faydalanarak (z) ve (z) fonksiyonlarını bir araya getiren önemli bir eşitlik elde

edilecektir. Bunun için öncelikle

(z) =

1 z

z

1

1

z 2

fonksiyonunun Laurent serisi bulunacaktır. Eğer m = min{ : \{0}} olarak

alınırsa D = {z C : z < m} diski içinde kafesinin 0 noktasından başka hiçbir elemanı olmadığı açıktır. 56



65. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


65. SAYFA ICERIGI

elde edilir. Dolayısıyla her bir için (z ) (z) özdeşliğin sıfır olur ve böylece (z + ) (z) farkı bir sabite eşittir. Her z C için (z + ) (z) = c olarak alınırsa, (z) çift fonksiyon olduğundan z = /2 için c = (/2) ( /2) = 0 olur. Böylece her z C ve için (z + ) = (z), yani dir. Diğer yandan 0, (z) fonksiyonunun bir kutup noktası olduğundan deki her noktada (z) fonksiyonunun bir kutbu vardır. (z) fonksiyonunun C\ da kutbu olmadığından dir. Yani = dir.

2.6.4 Teorem. (z) fonksiyonu 2. mertebeden, (z) fonksiyonu ise 3. mertebeden birer eliptik fonksiyondur (Jones ve Singerman 1987). İspat. (z) fonksiyonunun kafes noktalarındaki kutuplarının mertebesi 2 olan tek bir denklik sınıfı var olduğundan (z) fonksiyonu 2. mertebeden bir eliptik fonksiyondur. Benzer şekilde
(z) = 2F3(z) fonksiyonunun kutuplarının da 3. mertebeden bir tek denklik sınıfı olduğundan (z) fonksiyonu da 3. mertebeden bir eliptik fonksiyondur.

(z), (z) ve (z) Weierstrass fonksiyonlarının her birisi özel bir kafesine bağlı olduklarından (z, ), . vb. şeklinde yazılmalıdırlar. Ancak, çoğu durumda kafesi bilindiğinden kısa gösterimleri tercih edilir.

2.7 (z) Fonksiyonu İçin Diferensiyel Denklemler

Bu bölümde (z) fonksiyonunun z = 0 noktasının komşuluğundaki Laurent serisinden

faydalanarak (z) ve (z) fonksiyonlarını bir araya getiren önemli bir eşitlik elde

edilecektir. Bunun için öncelikle

(z) =

1 z

z

1

1

z 2

fonksiyonunun Laurent serisi bulunacaktır. Eğer m = min{ : \{0}} olarak

alınırsa D = {z C : z < m} diski içinde kafesinin 0 noktasından başka hiçbir elemanı olmadığı açıktır. 56







single.php