kümesi fonksiyonunun C deki tüm sıfır yerlerinin kümesi olduğundan {e1, e2, e3} = (S) kümesi kafesinin özel olarak seçilmiş olan {1, 2} tabanından bağımsızdır.

2.7.3 Sonuç. Her bir c \{e1, e2, e3, } için (z) = c denkleminin iki basit çözümü vardır, c = e1, e2, e3 veya için bu eşitliğin bir tane iki katlı çözümü vardır (Jones ve Singerman 1987).

İspat. (z) fonksiyonu 2. mertebeden bir eliptik fonksiyon olduğundan her bir c değerini tam iki defa alır. (z) çift fonksiyon olduğundan (z) = c denkleminin z ve z noktalarında iki basit çözümü vardır veya bu eşitliğin bir tane iki katlı çözümü vardır.

Eğer c C ise

(z) = c denkleminin iki katlı çözümü var (z) = 0

dır. j = 1, 2, 3 olmak üzere, bu çift gerektirme z

1 2

j

olduğunu

ve

dolayısıyla

c

=

ej

olduğunu gösterir. z = 0 noktası 2 mertebeli kutup ise (z) = denkleminin iki katlı

çözümünün olduğunu gösterir.

2.7.4 Teorem. e1, e2 ve e3 değerleri ikişer ikişer farklıdırlar (Jones ve Singerman 1987).

İspat. j = 1, 2, 3 için fj(z) = (z) ej olsun. fj(z) fonksiyonunun kutupları (z) fonksiyonunun kutuplarıyla aynı olduğundan fj(z) fonksiyonu 2. mertebeden eliptik bir fonksiyondur ve dolayısıyla sıfırlarının katlılıkları sayılmak şartıyla iki sınıfı vardır.

fj(

1 2

j)

=

f

j(

1 2

j

)

=0

olduğundan

fj(z)

fonksiyonunun

[

1 2

j]

de

çift

katlı

sıfırı

vardır

ve

bundan

başka

sıfırı

da

yoktur.

Özel

olarak

j

k

için

fj(

1 2

k)

0

dır.

fj(

1 2

k)

=

(

1 2

k

)

ej

=

ek

ej

olduğundan j k için ej ek olur.

Yukarıda elde edilmiş olan (z)2 4(z)3 g2(z) g3 eşitliği p(z) = 4z3 g2 z g3
biçiminde yeniden düzenlenirse p(z) polinomunun, (t) = 0 olmak üzere z = (t)
noktalarında sıfırlarının olduğu görülür. Dolayısıyla p(z) polinomunun z = e1, e2 ve e3 noktalarında farklı üç tane sıfırı vardır.

60



69. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


69. SAYFA ICERIGI

kümesi fonksiyonunun C deki tüm sıfır yerlerinin kümesi olduğundan {e1, e2, e3} = (S) kümesi kafesinin özel olarak seçilmiş olan {1, 2} tabanından bağımsızdır.

2.7.3 Sonuç. Her bir c \{e1, e2, e3, } için (z) = c denkleminin iki basit çözümü vardır, c = e1, e2, e3 veya için bu eşitliğin bir tane iki katlı çözümü vardır (Jones ve Singerman 1987).

İspat. (z) fonksiyonu 2. mertebeden bir eliptik fonksiyon olduğundan her bir c değerini tam iki defa alır. (z) çift fonksiyon olduğundan (z) = c denkleminin z ve z noktalarında iki basit çözümü vardır veya bu eşitliğin bir tane iki katlı çözümü vardır.

Eğer c C ise

(z) = c denkleminin iki katlı çözümü var (z) = 0

dır. j = 1, 2, 3 olmak üzere, bu çift gerektirme z

1 2

j

olduğunu

ve

dolayısıyla

c

=

ej

olduğunu gösterir. z = 0 noktası 2 mertebeli kutup ise (z) = denkleminin iki katlı

çözümünün olduğunu gösterir.

2.7.4 Teorem. e1, e2 ve e3 değerleri ikişer ikişer farklıdırlar (Jones ve Singerman 1987).

İspat. j = 1, 2, 3 için fj(z) = (z) ej olsun. fj(z) fonksiyonunun kutupları (z) fonksiyonunun kutuplarıyla aynı olduğundan fj(z) fonksiyonu 2. mertebeden eliptik bir fonksiyondur ve dolayısıyla sıfırlarının katlılıkları sayılmak şartıyla iki sınıfı vardır.

fj(

1 2

j)

=

f

j(

1 2

j

)

=0

olduğundan

fj(z)

fonksiyonunun

[

1 2

j]

de

çift

katlı

sıfırı

vardır

ve

bundan

başka

sıfırı

da

yoktur.

Özel

olarak

j

k

için

fj(

1 2

k)

0

dır.

fj(

1 2

k)

=

(

1 2

k

)

ej

=

ek

ej

olduğundan j k için ej ek olur.

Yukarıda elde edilmiş olan (z)2 4(z)3 g2(z) g3 eşitliği p(z) = 4z3 g2 z g3
biçiminde yeniden düzenlenirse p(z) polinomunun, (t) = 0 olmak üzere z = (t)
noktalarında sıfırlarının olduğu görülür. Dolayısıyla p(z) polinomunun z = e1, e2 ve e3 noktalarında farklı üç tane sıfırı vardır.

60







single.php