2.8 Eliptik Fonksiyonlar Cismi

Bu bölümde belli bir kafesi dikkate alınacak ve eliptik fonksiyon denildiğinde bu kafesine göre eliptik olan fonksiyon anlaşılacaktır. Eğer f ve g fonksiyonları eliptik ise f + g, f g ve fg fonksiyonları da birer eliptik fonksiyonlardır ve eğer g özdeşliğin sıfır değil ise 1/g fonksiyonu da bir eliptik fonksiyondur. Böylece tüm eliptik fonksiyonların kümesi bir cisimdir ve bu cisim genellikle E() ile gösterilir. E1() çift eliptik fonksiyonların kümesi olsun. Bu durumda E1() kümesi de bir cisimdir ve aynı zamanda E1(), E() cisminin bir alt cismi olur. Sabit fonksiyonlar da bir cisim oluştururlar. Bu cisim de E1() cisminin bir alt cismidir. Üstelik bu cisim C cismine izomorftur. Böylece E() ve E1() cisimleri C nin birer cisim genişlemeleri olarak düşünülebilirler. E1() kümesi (z) =(z,) fonksiyonunu bulundurduğundan fonksiyonunun karmaşık
katsayılı tüm rasyonel fonksiyonlarını da bulundurur. Bu rasyonel fonksiyonlar fonksiyonunu ve C deki sabit fonksiyonları içeren en küçük cisim olan C() kümesini oluştururlar. Benzer şekilde E() kümesi de ve fonksiyonlarını içerir ve böylece
ve fonksiyonlarının rasyonel fonksiyonlarının cismi olan C(, ) kümesini de kapsar. C(, ) kümesi, , ve C yi içeren en küçük cisimdir.

2.8.1 Teorem. i. Eğer f bir çift eliptik fonksiyon ise belli bir R1 rasyonel fonksiyonu için f = R1() ve böylece E1 () = C(),

ii. Eğer f, herhangi bir eliptik fonksiyon ise R1 ve R2 rasyonel fonksiyonlar olmak üzere f = R1() + R2() ve böylece E () = C(, )

dir (Jones ve Singerman 1987).

İspat. i. f bir çift fonksiyon olsun. Sabit fonksiyonlar için bu sonuç aşikar olduğundan

f fonksiyonunun mertebesi N 0 alınarak ispat yapılacaktır. Eğer k C ise f(z) = k

denkleminin katlı kökleri sadece f (z) = 0 olan yerlerdedir ve f (z) = 0 eşitliği z nokta-

larının sonlu sayıdaki denklik sınıflarında gerçeklenir. Dolayısıyla f(z) = k denklemi

sonlu sayıdaki k hariç her k değeri için basit köklere sahiptir. O halde c ve d karmaşık

sayıları, f(z) = c ve f(z) = d denkleminin tüm kökleri basit ve üstelik bu basit köklerin

hiçbirisi 0 sayısına veya j = 1, 2, 3 için

1 2

j sayısına denk olmayacak biçimde seçilebilir.

61



70. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


70. SAYFA ICERIGI

2.8 Eliptik Fonksiyonlar Cismi

Bu bölümde belli bir kafesi dikkate alınacak ve eliptik fonksiyon denildiğinde bu kafesine göre eliptik olan fonksiyon anlaşılacaktır. Eğer f ve g fonksiyonları eliptik ise f + g, f g ve fg fonksiyonları da birer eliptik fonksiyonlardır ve eğer g özdeşliğin sıfır değil ise 1/g fonksiyonu da bir eliptik fonksiyondur. Böylece tüm eliptik fonksiyonların kümesi bir cisimdir ve bu cisim genellikle E() ile gösterilir. E1() çift eliptik fonksiyonların kümesi olsun. Bu durumda E1() kümesi de bir cisimdir ve aynı zamanda E1(), E() cisminin bir alt cismi olur. Sabit fonksiyonlar da bir cisim oluştururlar. Bu cisim de E1() cisminin bir alt cismidir. Üstelik bu cisim C cismine izomorftur. Böylece E() ve E1() cisimleri C nin birer cisim genişlemeleri olarak düşünülebilirler. E1() kümesi (z) =(z,) fonksiyonunu bulundurduğundan fonksiyonunun karmaşık
katsayılı tüm rasyonel fonksiyonlarını da bulundurur. Bu rasyonel fonksiyonlar fonksiyonunu ve C deki sabit fonksiyonları içeren en küçük cisim olan C() kümesini oluştururlar. Benzer şekilde E() kümesi de ve fonksiyonlarını içerir ve böylece
ve fonksiyonlarının rasyonel fonksiyonlarının cismi olan C(, ) kümesini de kapsar. C(, ) kümesi, , ve C yi içeren en küçük cisimdir.

2.8.1 Teorem. i. Eğer f bir çift eliptik fonksiyon ise belli bir R1 rasyonel fonksiyonu için f = R1() ve böylece E1 () = C(),

ii. Eğer f, herhangi bir eliptik fonksiyon ise R1 ve R2 rasyonel fonksiyonlar olmak üzere f = R1() + R2() ve böylece E () = C(, )

dir (Jones ve Singerman 1987).

İspat. i. f bir çift fonksiyon olsun. Sabit fonksiyonlar için bu sonuç aşikar olduğundan

f fonksiyonunun mertebesi N 0 alınarak ispat yapılacaktır. Eğer k C ise f(z) = k

denkleminin katlı kökleri sadece f (z) = 0 olan yerlerdedir ve f (z) = 0 eşitliği z nokta-

larının sonlu sayıdaki denklik sınıflarında gerçeklenir. Dolayısıyla f(z) = k denklemi

sonlu sayıdaki k hariç her k değeri için basit köklere sahiptir. O halde c ve d karmaşık

sayıları, f(z) = c ve f(z) = d denkleminin tüm kökleri basit ve üstelik bu basit köklerin

hiçbirisi 0 sayısına veya j = 1, 2, 3 için

1 2

j sayısına denk olmayacak biçimde seçilebilir.

61







single.php