(z)2 4(z)3 g2(z) g3 diferensiyel eşitliği kullanılarak ve fonksiyonlarının herhangi rasyonel fonksiyonu kuvvetleri yok edilerek R1() + R2() şekline getirilebilir. Örneğin,
(z)2 4(z)3 60G4(z) 140G6 eşitliğine artık ve fonksiyonları arasındaki cebirsel bir eşitlik olarak bakılabilir. Şimdi E() kümesinde herhangi iki eliptik fonksiyonun birbirine cebirsel bir eşitlikle bağlı oldukları gösterilecektir.

2.8.2 Teorem. Eğer f, g E() ise sıfırdan farklı, indirgenemez, karmaşık katsayılı ve

(f, g) özdeşliğin sıfıra eşit olacak biçimde bir (x, y) polinomu vardır (Jones ve

Singerman 1987).

İspat. x, y gibi iki değişkenli herhangi bir polinom

mn

F(x, y) =

kl xk yl , ( kl C)

k 1 l 1

biçiminde seçilebilir. Dolayısıyla h(z) = F(f(z), g(z)) fonksiyonu, kutupları sadece f veya

g fonksiyonunun kutup noktalarında olan bir eliptik fonksiyondur. Eğer f ve g

fonksiyonları sırasıyla M ve N tane kutba sahipse h fonksiyonunun katlılıkları sayılmak

koşulu ile en fazla mM + nN tane kutup noktası vardır. Bundan dolayı Teorem 2.1.5

yardımıyla h fonksiyonu özdeşliğin sıfırı olmadıkça sıfırlarının sayısı da en fazla mM +

nN tanedir. Eğer m ve n yeterince büyük sayılar olarak seçilirse kl katsayılarının da,

h fonksiyonunun sıfırlarının sayısı mM + nN taneden fazla olacak şekilde seçilebileceği

ve dolayısıyla h(z) 0 olduğu gösterilecektir. Bunu gösterebilmek için z1, ., zmn 1 noktaları mn 1 tane birbirine denk olmayan, f ve g fonksiyonunun kutup noktalarından

farklı noktalar olarak seçilsin. Böylece mn tane kl bilinmeyenine sahip olan mn 1

tane

mn

h(zj) =

kl f (z)k g(z)l = 0

k1 l1

(j = 1, ., mn 1)

homojen lineer (doğrusal) denklem kümesi ele edilir. Bilinmeyen sayısı denklem

sayısından fazla olduğundan bu denklemlerin çözüm kümesi aşikar olmayan bir çözüme

sahiptir. Yani yukarıdaki denklemi gerçekleyen tamamı sıfır olmayan kl katsayıları

63



72. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


72. SAYFA ICERIGI

(z)2 4(z)3 g2(z) g3 diferensiyel eşitliği kullanılarak ve fonksiyonlarının herhangi rasyonel fonksiyonu kuvvetleri yok edilerek R1() + R2() şekline getirilebilir. Örneğin,
(z)2 4(z)3 60G4(z) 140G6 eşitliğine artık ve fonksiyonları arasındaki cebirsel bir eşitlik olarak bakılabilir. Şimdi E() kümesinde herhangi iki eliptik fonksiyonun birbirine cebirsel bir eşitlikle bağlı oldukları gösterilecektir.

2.8.2 Teorem. Eğer f, g E() ise sıfırdan farklı, indirgenemez, karmaşık katsayılı ve

(f, g) özdeşliğin sıfıra eşit olacak biçimde bir (x, y) polinomu vardır (Jones ve

Singerman 1987).

İspat. x, y gibi iki değişkenli herhangi bir polinom

mn

F(x, y) =

kl xk yl , ( kl C)

k 1 l 1

biçiminde seçilebilir. Dolayısıyla h(z) = F(f(z), g(z)) fonksiyonu, kutupları sadece f veya

g fonksiyonunun kutup noktalarında olan bir eliptik fonksiyondur. Eğer f ve g

fonksiyonları sırasıyla M ve N tane kutba sahipse h fonksiyonunun katlılıkları sayılmak

koşulu ile en fazla mM + nN tane kutup noktası vardır. Bundan dolayı Teorem 2.1.5

yardımıyla h fonksiyonu özdeşliğin sıfırı olmadıkça sıfırlarının sayısı da en fazla mM +

nN tanedir. Eğer m ve n yeterince büyük sayılar olarak seçilirse kl katsayılarının da,

h fonksiyonunun sıfırlarının sayısı mM + nN taneden fazla olacak şekilde seçilebileceği

ve dolayısıyla h(z) 0 olduğu gösterilecektir. Bunu gösterebilmek için z1, ., zmn 1 noktaları mn 1 tane birbirine denk olmayan, f ve g fonksiyonunun kutup noktalarından

farklı noktalar olarak seçilsin. Böylece mn tane kl bilinmeyenine sahip olan mn 1

tane

mn

h(zj) =

kl f (z)k g(z)l = 0

k1 l1

(j = 1, ., mn 1)

homojen lineer (doğrusal) denklem kümesi ele edilir. Bilinmeyen sayısı denklem

sayısından fazla olduğundan bu denklemlerin çözüm kümesi aşikar olmayan bir çözüme

sahiptir. Yani yukarıdaki denklemi gerçekleyen tamamı sıfır olmayan kl katsayıları

63







single.php