vardır. O halde F(x, y) fonksiyonu özdeşliğin sıfıra eşit olmadığı halde z = z1, ., zmn 1 noktalarında F(f(z), g(z)) = h(z) = 0 olur. Yeterince büyük m, n sayıları için
mn 1 mM + nN olur ve yukarıdaki gibi seçilen kl katsayıları için h(z) 0 olur. F(x, y) fonksiyonu C[x, y] polinom halkasında indirgenemez polinomların çarpımı olarak
F(x, y) = F1(x, y) F2(x, y). Fr(x, y) biçiminde yazılabilir. Dolayısıyla E() cisminde belli bir Fi(x, y) = 0 polinomu için
F1(x,y) F2(x,y). Fr(x,y) = 0 olur.
2.9 Sıfırları ve Kutupları Verilen Eliptik Fonksiyonların Oluşturulması
Bu kısımda sıfır ve kutup yerleri verilen bir f eliptik fonksiyonunun nasıl bulunabileceği sorusuna cevap aranacaktır. f fonksiyonu C de, katlılıkları k1, ., kr olan sıfırlarının denklik sınıfları [a1], [a2], ., [ar] ve katlılıkları l1, ., ls olan kutuplarının denklik sınıfları [b1], [b2], ., [bs] olan bir fonksiyon ise aşağıdaki koşullar gerçeklenir:
rs
i. k j l j , j 1 j 1
ii. [a1] [a2] . [ar] ve [b1] [b2] . [bs] kümeleri farklıdırlar,
rs
iii. k ja j ~ l jbj mod . j 1 j 1
İlerleyen kısımlarda bu koşulların f fonksiyonunun varlığı için sadece gerekli değil aynı zamanda yeterli de olduğu görülecektir.
2.9.1 Teorem. kafesi için [a1], [a2], ., [ar] ve [b1], [b2], ., [bs], C/ nın elemanları, k1, ., kr ve l1, ., ls pozitif tamsayılar olsunlar. Eğer i, ii ve iii koşulları gerçekleniyorsa her bir [aj] noktasında kj katlılığında sıfırları ve her bir [bj] noktasında lj katlılığında kutupları olan ve bu noktalardan başka sıfırları ve kutupları olmayan bir f E() eliptik fonksiyonu vardır (Jones ve Singerman 1987).
r
İspat. n k j olmak üzere u1, u2, ., un sayıları her bir aj nin kj defa listelenmesiyle j 1
ve a1, ., ar elemanlarının yeni düzenlemesi ve benzer şekilde 1, ., n sayıları da her
64



73. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


73. SAYFA ICERIGI

vardır. O halde F(x, y) fonksiyonu özdeşliğin sıfıra eşit olmadığı halde z = z1, ., zmn 1 noktalarında F(f(z), g(z)) = h(z) = 0 olur. Yeterince büyük m, n sayıları için
mn 1 mM + nN olur ve yukarıdaki gibi seçilen kl katsayıları için h(z) 0 olur. F(x, y) fonksiyonu C[x, y] polinom halkasında indirgenemez polinomların çarpımı olarak
F(x, y) = F1(x, y) F2(x, y). Fr(x, y) biçiminde yazılabilir. Dolayısıyla E() cisminde belli bir Fi(x, y) = 0 polinomu için
F1(x,y) F2(x,y). Fr(x,y) = 0 olur.
2.9 Sıfırları ve Kutupları Verilen Eliptik Fonksiyonların Oluşturulması
Bu kısımda sıfır ve kutup yerleri verilen bir f eliptik fonksiyonunun nasıl bulunabileceği sorusuna cevap aranacaktır. f fonksiyonu C de, katlılıkları k1, ., kr olan sıfırlarının denklik sınıfları [a1], [a2], ., [ar] ve katlılıkları l1, ., ls olan kutuplarının denklik sınıfları [b1], [b2], ., [bs] olan bir fonksiyon ise aşağıdaki koşullar gerçeklenir:
rs
i. k j l j , j 1 j 1
ii. [a1] [a2] . [ar] ve [b1] [b2] . [bs] kümeleri farklıdırlar,
rs
iii. k ja j ~ l jbj mod . j 1 j 1
İlerleyen kısımlarda bu koşulların f fonksiyonunun varlığı için sadece gerekli değil aynı zamanda yeterli de olduğu görülecektir.
2.9.1 Teorem. kafesi için [a1], [a2], ., [ar] ve [b1], [b2], ., [bs], C/ nın elemanları, k1, ., kr ve l1, ., ls pozitif tamsayılar olsunlar. Eğer i, ii ve iii koşulları gerçekleniyorsa her bir [aj] noktasında kj katlılığında sıfırları ve her bir [bj] noktasında lj katlılığında kutupları olan ve bu noktalardan başka sıfırları ve kutupları olmayan bir f E() eliptik fonksiyonu vardır (Jones ve Singerman 1987).
r
İspat. n k j olmak üzere u1, u2, ., un sayıları her bir aj nin kj defa listelenmesiyle j 1
ve a1, ., ar elemanlarının yeni düzenlemesi ve benzer şekilde 1, ., n sayıları da her
64







single.php