🔈 Yazıyı dinlemek için tıklayınız

elde ederiz. < 1 oldugunda ifadenin sağ tarafı yeterince büyük n için istenildiği kadar küçük yapılabilir. R tam ve {xn} temel dizi olduğundan limiti vardır. x = lim n xn A bir daralma dönüşümüdür. Her daralma dönüşümü sürekli olduğundan Ax = A lim n xn = lim n Axn = lim n xn+1 = x Bu sabit nokta xin varlığını kanıtlar. xin tekliğini ispatlayalım. Anın iki tane sabit noktası Ax = x ve Ay = y olsun. ( Ax, Ay) ( x, y) ün ( x, y) ( x, y) olduğuna dikkat edelim. ( x, y) ( x, y) 1 olur. Halbuki < 1 olmalıydı. Bu ise bir çelişki olup, ( x, y) = 0 dır. Böylece, x=y bulunur. NOT: Sabit nokta teoremi, değişik tipteki denklemlerin varlık ve teklik teoremlerini ispatlamak için kullanılabilir. Ax = x formundaki denklemin tek çözümünün olduğunu göstermesi yanında, sabit nokta teoremi ayrıca çözümü bulmakta pratik bir yol verir, yani ardışık yaklaştırma hesabı. Gerçekten ispatta görüldüğü gibi yaklaşımlar Ax = x denkleminin çözümüyle birleşir. Bu nedenle sabit nokta teoremi genellikle ardışık yaklaştırma metodu olarak adlandırılır. 43