Bir hiperbolik denklem için ters problemin çözümünün varlığı hakkında


































































2.2 SHAUDER TEOREMLERİ

Teorem 2.2.1 (Schauderin 1. teoremi): Eğer S, normlu uzayın konveks, kompakt bir alt kümesi ise Syi kendisine dönüştüren her sürekli dönüşümün bir sabit noktası vardır.

Bu teoremin ispatı oldukça uzundur. Sabit nokta teoremlerinin arkasındaki derin topolojik düşünce, Brouwer teoreminde mevcuttur. Schauder Teoreminin ispatı sonsuz boyutlu bir S kümesine, sonlu boyutlu bir kümeyle yaklaşımı ve sonlu boyutlu yaklaşımın sabit noktasının varlığını elde etmek için Brouwer teoreminin uygulamasını ve daha sonra yaklaşım uzayının boyutu sonsuza yaklaşırken limit alınmasını içerir.

Bu teoremin aşağıdaki genellemesi genellikle kullanışlıdır.

Teorem 2.2.2 (Schauderin 2.Teoremi): Eğer S, bir normlu uzayın konveks kapalı alt kümesi ve R, Snin relatif kompakt alt kümesi ise, o zaman Syi Rye dönüştüren her sürekli dönüşümün bir sabit noktası vardır. (Courant-Hilbert, Hochstadt vol 2p 403)

İspat. Bu teorem Schauderin 1. teoreminden aşağıdaki gibi elde edilir. U kümesi Ryi konveks yapmak için yeterince nokta eklenerek elde edilen konveks küme olsun (daha açıkça, U, Ryi içeren bütün konveks kümelerin kesişimi) Bu durumda U S ve U relatif kompakttır. Relatif kompakt bir kümenin kapanışı kompakt olduğundan U kompakttır ve U S dir. Böylece operatör U nı kendisine dönüştürür ve bu yüzden sabit noktaya sahiptir.

2.3 ARZELA TEOREMİ
[a, b] kapalı aralığı üzerinde tanımlanmış sürekli

onksiyonlarının ailesi nin

C[a,b]de relatif kompakt olabilmesi için gerekli ve yeter koşul nin düzgün sınırlı ve

eş sürekli olmasıdır.

İspat.
kabul edelim ki , C[a,b] de relatif kompakt olsun.Bu durumda de > 0 için

1 ,., n

sonlu

3

ağı

vardır

44



52. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


52. SAYFA ICERIGI

2.2 SHAUDER TEOREMLERİ

Teorem 2.2.1 (Schauderin 1. teoremi): Eğer S, normlu uzayın konveks, kompakt bir alt kümesi ise Syi kendisine dönüştüren her sürekli dönüşümün bir sabit noktası vardır.

Bu teoremin ispatı oldukça uzundur. Sabit nokta teoremlerinin arkasındaki derin topolojik düşünce, Brouwer teoreminde mevcuttur. Schauder Teoreminin ispatı sonsuz boyutlu bir S kümesine, sonlu boyutlu bir kümeyle yaklaşımı ve sonlu boyutlu yaklaşımın sabit noktasının varlığını elde etmek için Brouwer teoreminin uygulamasını ve daha sonra yaklaşım uzayının boyutu sonsuza yaklaşırken limit alınmasını içerir.

Bu teoremin aşağıdaki genellemesi genellikle kullanışlıdır.

Teorem 2.2.2 (Schauderin 2.Teoremi): Eğer S, bir normlu uzayın konveks kapalı alt kümesi ve R, Snin relatif kompakt alt kümesi ise, o zaman Syi Rye dönüştüren her sürekli dönüşümün bir sabit noktası vardır. (Courant-Hilbert, Hochstadt vol 2p 403)

İspat. Bu teorem Schauderin 1. teoreminden aşağıdaki gibi elde edilir. U kümesi Ryi konveks yapmak için yeterince nokta eklenerek elde edilen konveks küme olsun (daha açıkça, U, Ryi içeren bütün konveks kümelerin kesişimi) Bu durumda U S ve U relatif kompakttır. Relatif kompakt bir kümenin kapanışı kompakt olduğundan U kompakttır ve U S dir. Böylece operatör U nı kendisine dönüştürür ve bu yüzden sabit noktaya sahiptir.

2.3 ARZELA TEOREMİ
[a, b] kapalı aralığı üzerinde tanımlanmış sürekli

onksiyonlarının ailesi nin

C[a,b]de relatif kompakt olabilmesi için gerekli ve yeter koşul nin düzgün sınırlı ve

eş sürekli olmasıdır.

İspat.
kabul edelim ki , C[a,b] de relatif kompakt olsun.Bu durumda de > 0 için

1 ,., n

sonlu

3

ağı

vardır

44

İlgili Kaynaklar







single.php