Green fonksiyonları üzerine
























































































55

Burada

g

(x)

=

n=1

an

sin

n x L

olmak üzere

(4.2)

an

=

2 L

L 0

g

( x)sin

n x L

dx

(4.3)

dir. Bu çözümün sınır şartlarını sağladığı kolaylıkla görülür. an in yukarıdaki değeri seride yerine konularak, gerekli düzenlemeler yapıldığında ve geçici bir x0 değişkeni göz önüne alındığında

u

(

x,

t

)

=

L 0

g

(

x0

)

n=1

2 L

sin

n x0 L

sin

n x L

e k ( n

/ L)2 t

dx0

elde edilir.

Parantez içindeki ifade başlangıç koşulu için Etki Fonksiyonunu temsil eder ve x0 noktasındaki başlangıç sıcaklığına bağlı olarak t zamanda x konumundaki sıcaklığı ifade eder. Bu sonucu ele almadan önce kaynakları içeren daha genel bir ısı denklemi için benzer bir analiz yapmak yararlıdır. Homojen denklemin sınır şartları aynı kalmak üzere homojen olmayan aşağıdaki problemi göz önüne alalım;

u t

=

k

2u x2

+

(

x,

t)

u (0, t ) = 0

u ( L, t ) = 0

u ( x, 0) = g ( x).



63. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

Sınır değer problemlerinin green fonksiyonları ile çözümü üzerine - Sayfa 35
şeklinde sınır koşullarıyla ifade edilen bir boyutlu ısı problemi değişkenlerine ayırma yöntemi ile çözülürse u(x,t) fonksiyonu, ∑u ( x, t ) = ∞ n =1 an sin nπ x L e−k (nπ L)2 t (2.36) biçiminde elde edilir. Buradaki an değerleri başlangıç koşullarının gerektirdiği g(x) fonksiyonunun Fourier sinüs serilerinin katsayılarıdır. Bu durumda g(x) fonksiyonu ve an katsayılar...
Sınır değer problemlerinin green fonksiyonları ile çözümü üzerine - Sayfa 37
∫an (0) = 2 L L 0 g(x) sin nπ x L dx Bu Fourier katsayıları u(x,t) fonksiyonları (2.48) ∑ ∫u(x,t) = n i =1    2 L L 0 g(x0 ) sin nπ x0 L dx0   e− k ( nπ  L)2 t ∫ ∫+e−k(nπ L)2 t t  0 2 L L 0 f (x0 ,t0 ) sin nπ x0 L dx0    ek (nπ L )2 t0 dt0    sin nπ L (2.49...

63. SAYFADAKI ANAHTAR KELIMELER

denklemi
problemi
denklemin
sınır
burada
edilir


63. SAYFA ICERIGI

55

Burada

g

(x)

=

n=1

an

sin

n x L

olmak üzere

(4.2)

an

=

2 L

L 0

g

( x)sin

n x L

dx

(4.3)

dir. Bu çözümün sınır şartlarını sağladığı kolaylıkla görülür. an in yukarıdaki değeri seride yerine konularak, gerekli düzenlemeler yapıldığında ve geçici bir x0 değişkeni göz önüne alındığında

u

(

x,

t

)

=

L 0

g

(

x0

)

n=1

2 L

sin

n x0 L

sin

n x L

e k ( n

/ L)2 t

dx0

elde edilir.

Parantez içindeki ifade başlangıç koşulu için Etki Fonksiyonunu temsil eder ve x0 noktasındaki başlangıç sıcaklığına bağlı olarak t zamanda x konumundaki sıcaklığı ifade eder. Bu sonucu ele almadan önce kaynakları içeren daha genel bir ısı denklemi için benzer bir analiz yapmak yararlıdır. Homojen denklemin sınır şartları aynı kalmak üzere homojen olmayan aşağıdaki problemi göz önüne alalım;

u t

=

k

2u x2

+

(

x,

t)

u (0, t ) = 0

u ( L, t ) = 0

u ( x, 0) = g ( x).

İlgili Kaynaklar







single.php