IEn’deki Wintgen ideal yüzeylerin bir karakterizasyonu A characterization of Wintgen ideal surfaces in

















































h111 h221, h112 h22 2 , h121 h12 2 0

(4.1.5)

olmasıdır.

İspat. () : M E4 yüzeyi K H 2 eşitliğini sağlasın. Bu takdirde (4.1.3) ve (4.1.4)

eşitlikleri yardımıyla 4 H 2 (h111 h221 )2 (h112 h22 2 )2 K h111h221 (h121)2 h112h222 (h12 2 )2 elde edilir. Böylece (4.1.6) eşitliği düzenlenirse 4( H 2 K ) (h111 h221 )2 (h112 h22 2 )2 4(h121)2 4(h122 )2

(4.1.6) (4.1.7)

2
bulunur. Ayrıca H K 0 şartı sağlandığında (4.1.7) yardımıyla (4.1.5) eşitliği elde

edilir. () : Aşikardır. Teorem 4.1.2: M E 4 yüzeyi X(u,v) regüler yaması ile verilsin. M yüzeyinin
2
K H eşitliğini sağlaması için gerek ve yeter şart M nin total umbilik olmasıdır.

İspat. () : M E 4 yüzeyi X(u,v) regüler yaması ile verilsin. Bu takdirde
AN ( X k ) AN ( X k ), X 1 X 1 AN ( X k ), X 2 X 2 h( X k , X 1), N X1 h( X k , X 2 ), N X 2 h1k X 1 h2k X 2 ; 1 2.
2
dır. Ayrıca K H eşitliği sağlandığından (4.1.5) ve (4.1.8) eşitliklerinden

(4.1.8)

AN1 ( X1) h111 X1 AN1 ( X 2 ) h111X 2 AN2 ( X1) h112 X1 AN2 ( X 2 ) h112 X 2
dır. Buradan AN I olduğu görülür. Böylece tanım gereği M yüzeyi total umbiliktir.
() : Aşikardır.

Örnek 4.1.3: ( E4 deki S 2 (a) standart küresi)

X (u, v) (a sin(u) cos(v), a sin(u) sin(v), a cos(u),0) 0 u , 0 v 2

(4.1.9)

17



26. SAYFAYA BENZER SAYFALAR

tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa
...


26. SAYFA ICERIGI

h111 h221, h112 h22 2 , h121 h12 2 0

(4.1.5)

olmasıdır.

İspat. () : M E4 yüzeyi K H 2 eşitliğini sağlasın. Bu takdirde (4.1.3) ve (4.1.4)

eşitlikleri yardımıyla 4 H 2 (h111 h221 )2 (h112 h22 2 )2 K h111h221 (h121)2 h112h222 (h12 2 )2 elde edilir. Böylece (4.1.6) eşitliği düzenlenirse 4( H 2 K ) (h111 h221 )2 (h112 h22 2 )2 4(h121)2 4(h122 )2

(4.1.6) (4.1.7)

2
bulunur. Ayrıca H K 0 şartı sağlandığında (4.1.7) yardımıyla (4.1.5) eşitliği elde

edilir. () : Aşikardır. Teorem 4.1.2: M E 4 yüzeyi X(u,v) regüler yaması ile verilsin. M yüzeyinin
2
K H eşitliğini sağlaması için gerek ve yeter şart M nin total umbilik olmasıdır.

İspat. () : M E 4 yüzeyi X(u,v) regüler yaması ile verilsin. Bu takdirde
AN ( X k ) AN ( X k ), X 1 X 1 AN ( X k ), X 2 X 2 h( X k , X 1), N X1 h( X k , X 2 ), N X 2 h1k X 1 h2k X 2 ; 1 2.
2
dır. Ayrıca K H eşitliği sağlandığından (4.1.5) ve (4.1.8) eşitliklerinden

(4.1.8)

AN1 ( X1) h111 X1 AN1 ( X 2 ) h111X 2 AN2 ( X1) h112 X1 AN2 ( X 2 ) h112 X 2
dır. Buradan AN I olduğu görülür. Böylece tanım gereği M yüzeyi total umbiliktir.
() : Aşikardır.

Örnek 4.1.3: ( E4 deki S 2 (a) standart küresi)

X (u, v) (a sin(u) cos(v), a sin(u) sin(v), a cos(u),0) 0 u , 0 v 2

(4.1.9)

17







single.php