Meromorf fonksiyonlar için contour-solid teoremi










































17

2.3 Kapasitenin Tahmini

Basit kümelerin, (mesela kare gibi) kapasitelerini hesaplamak bazı zorluklar gerektirir. Daha karışık kümelerin ise, genelde kapasitelerini hesaplamak imkansızdır. Bu taktirde tahminlere yer vermeliyiz.

Birçok tahmin aşağıdaki temel sonuca dayanır.

Teorem 2.3.1

kompakt bir küme,

, bir dönüşüm olsun ve

(2.10)

olsun. Burada

pozitif sabittirler. Bu taktirde aşağıdaki doğrudur:

.

Ispat

kompakt kümesi için bir denge ölçüsü olsun. Teorem 1.2.18 gereği

da öyle bir Borel olasılık ölçüsü vardır ki;

. Bu taktirde

KK

KK
=

.

Böylece kapasitenin tanımından alınır ki;

.

Bu da istenen sonuçtur.

Bu teoremi Sonuç 2.2.4 ile birleştirirsek kapasite için -tahmin sayısı elde edilir.

Teorem 2.3.2 Kompakt

olsun.

a) Eğer , bağlantılı ve çapına sahip ise,

;

b) Eğer , düzeltilebilir bir eğri ve uzunluğuna sahip ise,

;

c) Eğer , reel eksenin bir altkümesi ve Lebesgue ölçüsü ise,

;



25. SAYFADAKI ANAHTAR KELIMELER

küme
kompakt
teorem
taktirde
öyle
burada


25. SAYFA ICERIGI

17

2.3 Kapasitenin Tahmini

Basit kümelerin, (mesela kare gibi) kapasitelerini hesaplamak bazı zorluklar gerektirir. Daha karışık kümelerin ise, genelde kapasitelerini hesaplamak imkansızdır. Bu taktirde tahminlere yer vermeliyiz.

Birçok tahmin aşağıdaki temel sonuca dayanır.

Teorem 2.3.1

kompakt bir küme,

, bir dönüşüm olsun ve

(2.10)

olsun. Burada

pozitif sabittirler. Bu taktirde aşağıdaki doğrudur:

.

Ispat

kompakt kümesi için bir denge ölçüsü olsun. Teorem 1.2.18 gereği

da öyle bir Borel olasılık ölçüsü vardır ki;

. Bu taktirde

KK

KK
=

.

Böylece kapasitenin tanımından alınır ki;

.

Bu da istenen sonuçtur.

Bu teoremi Sonuç 2.2.4 ile birleştirirsek kapasite için -tahmin sayısı elde edilir.

Teorem 2.3.2 Kompakt

olsun.

a) Eğer , bağlantılı ve çapına sahip ise,

;

b) Eğer , düzeltilebilir bir eğri ve uzunluğuna sahip ise,

;

c) Eğer , reel eksenin bir altkümesi ve Lebesgue ölçüsü ise,

;







single.php